江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学 含解析

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【新结构】2023-2024 学年江苏省苏州市高一下学期 4月期中调研数学
试题❖
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i是虚数单位，则复数
(3−i)(4− i)
在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知单位向量
a
⃗
，
b
⃗
的夹角为
2π
3
，则
¿a
⃗
− b
⃗
∨¿
()
A.1 B.
√
2
C.
√
3
D.3
3.i是虚数单位，则
的共轭复数是()
A.
1
2+1
2i
B.
1
2−1
2i
C.
1−i
D.
1+i
4.已知
△A B C
的内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若
a=1
，
A=135∘
，则
b+c
sin B+sin C
的值为()
A.
√
2
4
B.
√
2
2
C.
√
2
D.
2
√
2
5.已知向量
a
⃗
=(3,− 4)
，
b
⃗
=(2,0)
，则
a
⃗
在
b
⃗
上的投影向量为()
A.
(3,0)
B.
(3
2,0)
C.3 D.6
6.下列命题正确的是()
A.
A B
⃗
− A C
⃗
=B C
⃗
B.若向量
a
⃗
=(2023 ,2024)
，把
a
⃗
向右平移 2个单位，得到的向量的坐标为
(2025 ,2024)
C.在
△A B C
中，
A B
⃗
⋅A C
⃗
>0
是
△A B C
为锐角三角形的充要条件
D.在
△A B C
中，若
λ
为任意实数，且
C P
⃗
=λ(¿C B
⃗
∨⋅C A
⃗
+¿C A
⃗
∨⋅C B
⃗
)
，则 P点的轨迹经过
△A B C
的内心
7.苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东 CBD 核心区的一栋摩天大楼，曾获 2020 年度 CTBUH 全球
高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤
鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至
主塔楼.某测量爱好者在过国际金融中心底部
¿
当作点
Q¿
一直线上位于 Q同侧两点 A，B分别测得金融中心
顶部点 P的仰角依次为
30∘
，
45∘
，已知 AB 的长度为 330 米，则金融中心的高度约为()
A.350 米B.400 米C.450 米D.500 米
8.在平行四边形 ABCD 中，E为CD 的中点，
B F
⃗
=1
3B C
⃗
，AF 与BE 交于点 G，若
B A
⃗
=a
⃗
，
BC
⃗
=b
⃗
，则
BG
⃗
=¿
()
A.
2
7a
⃗
+1
7b
⃗
B.
1
7a
⃗
+2
7b
⃗
C.
2
5a
⃗
+1
5b
⃗
D.
1
5a
⃗
+2
5b
⃗
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，
部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.在
△A B C
中，下列说法正确的是()
A.若
A>B>C
，则
sin A>sin B>sin C
B.若
A>B>C
，则
sin 2 A>sin 2 B>sin 2 C
C.若
A>B>C
，则
cos A<cos B<cos C
D.若
A>B>C
，则
cos 2 A<cos 2 B<cos 2 C
10.
z1
，
z2
是复数，下列说法正确的是()
A.若
z1
2<0
，则
z1
是纯虚数
B.若
¿z1∨¿∨z2∨¿
，则
z1
2=z2
2
C.若
z1
，
z2
互为共轭虚数，则
z1
，
z2
在复平面内对应的点关于实轴对称
D.若
z1
2− z2
2>0
，则
z1
2>z2
2
11.已知 P是边长为 1的正六边形 ABCDEF 内一点
¿
含边界
¿
，且
A P
⃗
=A B
⃗
+λ A F
⃗
，
λ∈R
，则下列正确的
是()
A.
△P C D
的面积为定值 B.
∃λ
使得
¿P C
⃗
∨¿∨P A
⃗
∨¿
C.
∠C P D
的取值范围是
[π
6,π
3]
D.
¿P C
⃗
∨¿
的取值范围是
[1,
√
3]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.已知
a
⃗
，
b
⃗
为两个不共线的非零向量，若
k a
⃗
+b
⃗
与
a
⃗
−2b
⃗
共线，则 k的值为__________.
13.
△A B C
中，若
sin(A+π
4)=−3
5
，则
sin (A − π
12 )=¿
__________.
14.已知
△A B C
的外接圆半径为 1，则
A B
⃗
⋅B C
⃗
的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题 13 分
¿
已知复数 z在复平面上对应点在第一象限，且
¿z∨¿
√
2
，
z2
的虚部为
2.
(1)
求复数
z;
(2)
设复数 z、
z2
、
z − z2
在复平面上对应点分别为 A、B、C，求
A B
⃗
⋅A C
⃗
的值.
16.
¿
本小题 15 分
¿
已知向量
O A
⃗
，
O B
⃗
不共线，点 P满足
O P
⃗
=xO A
⃗
+y O B
⃗
，x，
y∈R .
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