江苏省苏锡常镇四市2024届高三下学期二模试题 数学答案

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高三数学答案 第1页（共 8页）
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2023~2024 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学（参考答案） 2024. 5
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C D A D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．
题号
9
10
11
答案
BCD
ABD
AC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．
1y=
或
3 4 50
xy+ +=
13．
19
14．4，1
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．
15．（ 13 分）
【法一】
（1）证明：在直棱柱
111 CBAABC −
中，
面
ABC
，则面
11
BB CC ⊥
面
ABC
， ……2 分
面
11
BB CC
面
ABC BC=
，
AB ⊂
面ABC，
BCAB ⊥
，
所以
⊥AB
面
11
BBCC
. ……4分
因为
11
// BAAB
，所以
⊥
11
BA
面
11
BBCC
.
则
1
AC
在面
11
B
BCC
的射影为
1
BC
，
在正方形
11
B
BCC
中，有
.
11
CBBC ⊥
所以由三垂线定理得：
.
11
CABC ⊥
……6 分
（2）解：直三棱柱
111
ABC A B C
的体积为
11
11
21 1
22
V AB BC AA AA= × ⋅ ⋅ = × ×× =
，
则
1
1AA =
. ……7 分
高三数学答案 第2页（共 8页）
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由（1）
⊥
11
B
A
平面
11
BBCC
，
1
BC ⊂
平面
11BBCC
，则
⊥
11
B
A
1
BC
，
在正方形
11BBCC
中，
1
BC⊥
1
BC
，且
11 1
AB BC⊂，
平面
CBA
11
，
11 1 1
AB BC B=
，所以
⊥
1
BC
平面
CBA
11
. ……8 分
设
11
B C BC O=
， 在△
11
ABC
中，过
O
作
CAOH
1
⊥
于
H
，连接
BH
.
因为 OH 为BH 在面
11
ABC
的射影，由三垂线定理得：
⊥CA
1
.BH
所以
BHO∠
为二面角
11
BA B
C−−
的平面角. ……10 分
因为 Rt△
COH
∽Rt△
11
CA B
，
11
1
B
A
CA
OH
CO =
，得
3
3
=OH
，
又在 Rt△
BOH
中，
2
2
=
BO
，得
6
30
=BH
， ……12 分
.
5
10
6
30
3
3
cos ===∠ BH
OH
BHO
所以二面角
BCAB −− 11
的余弦值为
.
5
10
……13 分
【法二】直三棱柱
111
ABC A B C
的体积为：
11
11
21 1
22
V AB BC AA AA= × ⋅ ⋅ = × ×× =
，
则
1
1
AA =
. ……1 分
（1）证明：直棱柱
111
ABC A B C−
，
1
BB ⊥
平面
ABC
，又
AB BC⊥
，
以B为原点，BC 为x轴，BA 为y轴，
1
BB
为
z
轴，建立空间直角坐标系.…2 分
(0,0,0)
B
，
1
(0,0,1)B=
，
(1,0,0)C
，
1
(0,2,1)A
，
1
(1, 0,1)C
.
1
(1, 0,1)BC =

，
1(1,2,1)AC= −−

， ……4分
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11
11 0 (2) 1 (1) 0BC AC⋅ = × + ×− + ×− =
 
，所以
.
11
CABC ⊥
……6分
（2）
(0,0,0)
B
，
1(0,0,1)
B=
，
(1,0,0)C
，
1
(0,2,1)A
，
1
(1, 0,1)C
.
(1,0,0)BC =

，
1
(0,2,1)
BA =

，设平面
1
BCA
的法向量
1
η
111
(,, )xyz=
，
则
11
1 1 11
0
20
BC x
BA y z
⋅==
⋅ = +=

，
，
η
η
取
1
1y=
，得
1
η
(0,1, 2)= −
. ……8 分
1(1, 0, 1)
BC= −

，
11
(0,2,0)BA=

，设面
11
B CA
的法向量
2
η
222
(,, )xyz=
，
则
21 2 2
2 11 2
0
20
BC x z
BA y
⋅ =−=
⋅==

，
，
η
η
取
21x=
，得
2
η
(1, 0,1)
=
. ……10 分
设二面角
11
BA BC−−
的大小为
θ
，则：
12
12
12
||
| 2| 10
| cos | | cos , | 5
52
⋅−
= < >= = =
×
ηη
θ ηη ηη
. ……12 分
因为
θ
为锐角，所以二面角
11
BA BC
−−
余弦值为
5
10
. ……13 分
16.（15 分）
（1）解：
提出假设
0
H
：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3 分
根据列联表的数据，可以求得：
2
2
50(10 12 13 15) 0.725 2.706
25 25 23 27
χ
×−×
= ≈<
×××
， ……5 分
所以没有 90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分
（2）随 机 变
X
服从超几何分布
(3, 2,6)H
，
X
可能取 0，1，2. ……8分
性别 阅读
合计
一般 爱好
男生 10 15 25
女生 13 12 25
合计 23 27 50
……2 分
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