江苏省常州市联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中考试 数学 PDF版含答案（可编辑）(1)

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1
常州市联盟学校 2023-2024 学年度第二学期期中调研
高二年级数学试卷
2024.4
考试时间 120 分钟 满分 150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．向量
 
2, 1,1 , 1,1,a b x 
 
，若
a b
 
，则
x
( )
A．
2
B．
1
C．1 D．0
2．若某质点的运动方程是
2
( ) (2 1)S t t 
，(位移单位：m，时间单位：s)，则该质点在
1st
时的瞬时速
度为( )
A．
B．
2m / s
C．
3m / s
D．
4m / s
3．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，
其中 A地员工的上班迟到时间为 X（单位：min），
 
2, 4X N:
，对应的曲线为
1
C
，B地员工的上班
迟到时间为 Y（单位：min），
9
,1
3Y N  
 
 
，对应的曲线为
2
C
，则下列图象正确的是( )
4．设随机变量 X的分布列为
 
1
2
i
P X i a  
 
 
，
1, 2, 3i
，则则X的数学期望 E(X)=( )
A．
11
7
B．
77
64
C．
7
16
D．
22
7
5．已知函数
 
f x
与其导函数
()
f x
¢
的图像如图，则函数
   
ex
f x
g x
的单调
减区间为( )
A．
 
0, 4
B．
4
0, 3
 
 
 
C．
 
0,1 , 4, 
D．
 
4
,1 , ,
3
 
 
 
 
6．函数
 
3 2 2
3f x x ax bx a   
在
= 1x
时有极值 0，则
a b 
( )
A．4 B．6 C．11 D．4或11
A
B
C
D
第5题图
{#{QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=}#}
2
7．如图，在正三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
中，
11AB AA 
，P为
1 1
B C
的中点，则
1
AC BP 
 
( )
A．
5
4
B．1 C．
3
2
D．
1
2
8．已知函数
 
3 2
1 1
3 2
f x ax bx cx d  
存在两个极值点
 
1 2 1 2
,x x x x
，且
 
1 1
f x x 
，
 
2 2
f x x
．设
 
f x
的零点个数为
m
，方程
   
20a f x bf x c
 
 
的实根个数为
n
，则
m n
的取值不可能为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列给出的命题正确的是( )
A．若
 
, ,a b c
 
为空间的一组基底，则
 
, ,a b b c c a  
 
 
也是空间的一组基底
B．点
P
为平面
ABC
上的一点，且
 
1, R
3
OP OA xOB yOC x y  
 
，则
2
3
x y 
C．若直线
l
的方向向量为
 
1,1,0u
，平面
a
的法向量
 
1,1,1n 
，则
/ /l
D．两个不重合的平面
,
 
的法向量分别是
 
1,1,1 , 1,1,0n m 
 
，则
 
10. 下列说法正确的是( )
A．若随机变量
X
~
1
10, 2
B 
 
 
，则
( ) 5E X
B．若随机变量
X
的方差
( ) 1D X
，则
 
3 1 10D X  
C．若
( ) 0.6P A
，
( ) 0.4P B
，
 
0.4P B A
，则事件
A
与事件
B
独立
D．若随机变量
X
服从正态分布
 
2
6,N
，若
 
10 0.8P X  
，则
 
2 6 0.3P X  
11．已知函数
   
e 2 1
1
xx
f x x
，下列说法中正确的有( )
A．函数
( )f x
的单调递减区间为
3
0, 2
 
 
 
B．曲线
( )y f x
在
0x
处的切线方程为
1y
C．函数
( )f x
既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值
D．方程
 
f x k
有两个不等实根，则实数
k
的取值范围为
 
3
2
,1 4 ,e
 
 
 
 
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
P
第7题图
{#{QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=}#}
3
12．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；
另一方面，空间直角坐标系
xOy
中，过点
 
0 0 0
, ,P x y z
且一个法向量为
 
, ,n a b c
的平面
的方程为
 
0 0 0 0a x x b y y c z z   
．根据上述知识解决问题：现有一三脚架(三条脚架可看为三条边，它们
的交点为顶点)放于桌面，建立合适空间直角坐标系
xOy
，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面
的方
程为
2 0x y z  
，若三脚架顶点 P的坐标为
 
0,3, 4
，则点 P到平面
的距离为 ．
13．兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球
比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得 11 分者获胜，若单局比赛中，甲
发球时获胜的概率为
2
3
，甲接球时获胜的概率为
1
2
，甲先发球，则单局比赛中甲
11:1
获胜的概率
为 ．
14．存在过点
 
,0P t
的直线与曲线
( )
ln
x
y x e
x
 ，
相切，则实数
t
的取值范围是___________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 A1A⊥平面 ABCD，
AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱 AA1的中点，M为棱
CE 的中点
．
(1)证明：BC⊥C1E
(2)求异面直线
BM
与
AD
所成角的余弦值
16．（15 分）某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有 2个蓝球和 2个
红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：
初始奖池
摸球方式
奖励规则
方案 A
30 元
不放回摸 2次，每次摸出 1个球.
每摸出一个红球，奖池金额增加 50 元，在抽奖
结束后获得奖池所有金额.
方案 B
有放回摸 2次，每次摸出 1个球.
每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后
获得奖池所有金额.
(1)若顾客选择方案 A，求其所获得奖池金额 X的分布列及数学期望；
(2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案 A还是方案 B？
第15 题图
{#{QQABCQ6QogigQIIAABhCEQEyCgKQkAACAAoORAAIoAAByAFABAA=}#}
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