江苏省常州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考试题 数学 含解析

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常州市第一中学 2023-2024 学年度第二学期三月阶段质量调研
高一年级数学试卷
本试卷共 19 题 满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知平面向量
⃑
a=
(
3, −4
)
，则与
⃑
a
同向的单位向量为（）
A．
(
1,0
)
B．
(
0,1
)
C．
(
3
5, − 4
5
)
D．
(
−3
5,4
5
)
2．
sin π
12
的值是（）
A．
B．
❑
√
6−❑
√
2
4
C．
−❑
√
6+❑
√
2
4
D．
−❑
√
6−❑
√
2
4
3．已知
2 sin
(
π − α
)
=3 sin
(
π
2+α
)
，则
sin2α − 1
2sin2 α − cos2α=¿
（）
A．
5
13
B．
−1
13
C．
−5
13
D．
1
13
4．已知
sin
(
α − π
6
)
=3
4
，则
sin
(
2α − 5π
6
)
=¿
（）
A．
1
8
B．
−1
8
C．
7
8
D．
−7
8
5．
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为 a，b，c，若
a=❑
√
2, A=π
4,sin B=❑
√
3
3
，则
b=¿
（）
A．
2❑
√
3
3
B．
❑
√
2
C．
❑
√
3
D．
2❑
√
3
6．设点
D , E , F
分别是
△ABC
的三边
BC ,CA , AB
的中点，则
⃑
BE+
⃑
CF=¿
（）
A．
⃑
DA
B．
1
2
⃑
DA
C．
⃑
AD
D．
1
2
⃑
BC
7．如图，在平行四边形
ABCD
中，
AE=1
3AD
，
BF=1
4BC
，
CE
与
DF
交于点
O
.设
⃑
AB=
⃑
a
，
⃑
AD=
⃑
b
，
若
⃑
AO=λ
⃑
a+μ
⃑
b
，则
λ+μ=¿
（）
A．
8
17
B．
19
17
C．
3
17
D．
11
17
8．如图，在平面四边形
ABCD
中，
AB⊥BC , AD ⊥CD , ∠BAD=120∘
，
AB=AD=1
.若点
E
为边
CD
上的动点，则
⃗
EA ⋅
⃗
EB
的最小值为（）
A．
21
16
B．
3
2
C．
3
4
D．2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列关于向量的说法正确的是（）
A．若
⃗
a//
⃗
b
，
⃗
b//
⃗
c
，则
⃗
a//
⃗
c
B．若单位向量
⃗
a
，
⃑
b
夹角为
θ
，则向量
⃗
a
在向量
⃑
b
上的投影向量为
cos θ
⃑
b
C．若
⃗
a⋅
⃗
c=
⃗
b⋅
⃗
c
且
⃗
c ≠
⃑
0
，则
⃗
a=
⃑
b
D．若非零向量
⃗
a
，
⃑
b
满足
⃗
a⋅
⃗
b=
|
⃗
a
)
|
⃗
b
)
，则
⃗
a//
⃗
b
10．在
△ABC
中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，已知
cos B
cos C=b
2a −c
，
S△ABC =3❑
√
3
4
，且
b=❑
√
3
，则（）
A．
cos B=1
2
B．
cos B=❑
√
3
2
C．
a+c=❑
√
3
D．
a+c=2❑
√
3
11．在
△ABC
中，
D
，
E
为线段
BC
上的两点，且
⃗
BD=
⃗
EC
，下列结论正确的是（）
A．
⃗
AB ⋅
⃗
AC ≥
⃗
AD ⋅
⃗
AE
B．若
⃗
AB2+
⃗
AD2=
⃗
AE2+
⃗
AC2
，则
|
⃗
AB
)
=
|
⃗
AC
)
C．若
|
⃗
BD
)
=
|
⃗
DE
)
=1
2
|
⃗
AD
)
，
∠BAC =π
3
，则
∠ACB=π
6
D．若
|
⃗
BD
)
=
|
⃗
DE
)
=1
，
∠BAD=∠EAC=π
6
，则
△ABC
的面积是
3❑
√
3
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知向量
⃗
a=(−1, x )(x∈R),
⃗
b=(2,4)
，且
⃗
a∥
⃗
b
，则
¿
⃗
a∨¿
.
13．在
△ABC
中，
AB=3，BC=2，M，N
分别为
BC ，AM
的中点，则
⃗
AM ⋅
⃗
BN =¿
.
14．
△ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
M
为
AB
的中点，
b=2
，
CM =❑
√
3
，且
2ccos B=2a −b
，则
SΔABC =¿
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
已知向量
⃑
a=(2,1),
⃑
b=(3, −1)
．
（1）求向量
⃑
a
与
⃑
b
的夹角；
（2）若
⃑
c=(3, m)(m∈R)
，且
(
⃑
a − 2
⃑
b)⊥
⃑
c
，求 m的值．
16．（本小题满分 15 分）
如图，在平行四边形 ABCD 中，
AB=1
，
AD=2
，
∠BAD=60 °
，BD，AC 相交于点 O，M为BO 中点.
设向量
⃗
AB=
⃗
a
，
⃗
AD=
⃗
b .
(1)用
⃗
a
，
⃗
b
表示
⃗
AM ;
(2)求线段 AM 的长度
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