河北省唐山市2024届高三下学期二模考试 数学 Word版含答案

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2024 届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练
数 学
本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号．解答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．某地区 5000 名学生的数学成绩 （单位：分）服从正态分布 ，且成绩在 的
学生人数约为 1800，则估计成绩在 100 分以上的学生人数约为（ ）
A．200 B．700 C．1400 D．2500
3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线
的标准方程为 ，则 的共轭双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．函数 （ ）在 上为单调递增函数，则 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知长方体的一条棱长为 2，体积为 16，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知 为平面 外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在直线 ，使得 ， B．存在直线 ，使得 ，
C．存在直线 ，使得 ， D．存在直线 ，使得 ，
8．已知圆 ： ，过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于 ， 两点，则
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．为研究光照时长 （小时）和种子发芽数量 （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了 10 组数据，
绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数 变小 B．经验回归方程斜率变小
C．残差平方和变小 D．决定系数 变小
10．设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与 交于 ， 两
点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．以 为直径的圆与 相切
C．以 为直径的圆过坐标原点 D． 为直角三角形
11．设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为奇数时， 在 单调递增
B． 为奇数时， 在 有一个极值点
C． 为偶数时， 在 单调递增
D． 为偶数时， 的最小值为 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 的虚部为______．
13．公式 ，其等号右侧展开式共有 3类非同类项，
的展开式共有 6类非同类项；那么 的展开式
共有______类非同类项， 的展开式共有______类非同类项．
14．锐角 中， 边上的高为 4，则 面积的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
如图，在三棱台中， 平面 ， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
16．（15 分）
某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，
盒中有 1分和 2分的球若干，摸到 1分球的概率为 ，摸到 2分球的概率为 ．
（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为 ，求随机变量 的分布列与期望；
（2）学生甲、乙各摸 5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲
前3次摸球得了 6分，求乙获得奖励的概率．
17．（15 分）
（1）证明：；
（2）若 ， ，利用（1）结合自己所学知识，求 ．
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