湖北省沙市中学2024届高三下学期5月模拟预测试题 数学 含解析

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2023—2024 学年度下学期 2021 级
5月模拟考试数学试卷
命题人：刘超 审题人：黄华清
考试时间：2024 年5月4日
第Ⅰ卷（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知
z=i
(
−1+2i
)
，则
z
的虚部为（ ）
A．
2
B．
−
1 C．
2i
D．
−
i
2．抛物线 过点
(
2,1
)
，则
的准线方程为（ ）
A．
x=1
B．
y=−1
C．
x=−2
D．
y=−2
3．已知向量
⃗
a=
(
2,4
)
,
⃗
b=
(
3, −1
)
，则“
k=❑
√
2
”是“
(
⃗
a+k
⃗
b
)
⊥
(
⃗
a − k
⃗
b
)
”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．已知
a∈
(
0, π
)
，
sinα+cosα=1
5
，
tan2 α=¿
( )
A．
12
7
B．
−12
7
C．
24
7
D．
−24
7
5．为了迎接 2025 年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．
已知该班男生 35 人，女生 25 人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为
，该班成绩的方差为 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从
下到上排列的 6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“
”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重
卦，记事件
A=¿
“取出的重卦中至少有 1个阴爻”，事件
B=¿
“取
出的重卦中至少有 3个阳爻”．则
P
(
B
|
A
)
=¿
（ ）
A．
5
16
B．
11
32
C．
41
63
D．
15
64
7．在边长为 4的正三角形 中，E，F分别是 ， 的中点，将 沿着 翻折至
，使得 ，则四棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系内，函数
y=f
(
x
)
及其导函数
y=f'
(
x
)
的图象如图
所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为
(
0,1
)
，则（ ）
A． 函数
y=f
(
x
)
⋅ex
的最大值为 1 B． 函数
y=f
(
x
)
⋅ex
的
最小值为 1
C． 函数
y=f
(
x
)
ex
的最大值为 1 D． 函数
y=f
(
x
)
ex
的
最小值为 1
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得
2分，有选错的得 0分．
9． 已 知
f
(
x
)
=Asin
(
ωx+φ
)
(
A>0, ω>0,0<φ<π
2
)
的部分图象如图所
示，则（ ）
A．
f
(
0
)
=1
B．
f
(
x
)
在区间
(
4π
3,11 π
6
)
单调递减
C．
f
(
x
)
在区间
[
π
3,5π
6
]
的
值域为
[
−1,❑
√
3
]
D．
f
(
x
)
在区间
(
π
2,2π
)
有3个极值点
10．已知正四棱锥 的所有棱长均相等，
O
为顶点
S
在底面内的射影，则下列说法正确的
有（ ）
A． 平面
SAD ⊥
平面
B． 侧面 内存在无穷多个点
P
，使得
OP/¿
平面
C． 在正方形
ABCD
的边上存在点
Q
，使得直线
SQ
与底面所成角大小为
π
3
D． 动点
M , N
分别在棱
AB
和
BC
上（不含端点），则二面角
S − MN −O
的范围是
(
π
4,π
2
)
11 ．已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
在区间
[
−1,0
]
上单调递增，且满足
f
(
4− x
)
=f
(
x
)
，
f
(
2− x
)
=− f
(
x
)
，则（ ）
A．
∑
k=1
10
f
(
k
)
=0
B．
f
(
0.9
)
+f
(
1.2
)
<0
C． D．
f
(
sin 1
)
<f
(
ln 1
2
)
第Ⅱ卷（非选择题　共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，其中 14 小题第一空 2分，第二空 3分，共 15 分．
12．已知函数
f
(
x
)
=
{
3x, x >0
f
(
x+2
)
, x ≤ 0
，则
f
(
log3
1
16
)
=¿
________．
13．已知
A
(
−1,0
)
, B
(
−4,0
)
,
|
PB
|
=2
|
PA
|
，若平面内满足到直线
l:3 x+4y+m=0
的距离为 1的
点
P
有且只有 3个，则实数
m=¿
________．
14．有序实数组 称为
n
维向量， 为该向量的范数，范数
在度量 向量 的长度和大 小方面有着 重要 的作用．已 知
n
维向量 ，其中
．记范数为奇数的
⃗
a
的个数为
An
，则
A4=¿
______；_____
_．（用含
n
的式子表示）
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）已知函数 f(x)＝ax＋1－xln x的图象在 x＝1处的切线与直线 x－y＝0平行．
（1）求函数 f(x)的单调区间；
（2）若∀x1，x2(0∈，＋∞)，且 x1>x2时，f(x1)－f(x2)>m(x－x)，求实数 m的取值范围．
16．（15 分）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企
业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问
题，第一题考查对公司的了解，答对得 1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知
识，每道题答对得 2分，答错不得分．
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分 服从正态分布，要求满足
为达标．现有1000 人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，每道题是否
答对互不影响，求该应聘者的面试成绩 的分布列与数学期望．
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