湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学答案

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2023-2024 学年度上学期高二期末考试数学试卷参考答案
1-8 C A B C B B D B 9.BD 10.BCD 11.A D 12.ABC
13. 14.1 15. 16.
17.【详解】（1）设数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得 ,
解得： ， ,所以 ……………5 分
（2）因为 ……………6 分
所以
． ……………10 分
18.【详解】解：（1）小明三道题都答对概率为 ，故 ，……………2 分
恰能解决三道题中的一道题的概率： ；……………6 分
（2）若三道题均答对，则 ， ；
若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则 ，
；
若代数几何均答对，但组合未答对，则 ， ；
. ……………12 分
19.【详解】（1）证明：∵ 面 为矩形， ，
且 平面 ， 平面 ， …………………1 分
∴ 平面 ， …………………2 分
又 平面 ，平面
平面 ， …………………3 分
∴ ． …………………4 分
（2）法一：（向量法）∵ 面 为矩形面， ，又面 面 ，且面
面 ，∴ 面 ， 由 （ 1 ） 知 ， .， 又
，
∴ ， ∴ ， ， 两两垂直，…………6 分
以 ， ， 所 在 直 线 分 别 为 轴 ， 轴 ， 轴 建 立 图 示 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
， ， ， ， ， ．
， ， ， ， ………7 分
设平面 与平面 的法向量分别为 ， ，
则 ∴
令 ，解得 ， 令 ，解得 ， ……………9 分
于是 ， …………………10 分
设平面 与平面 夹角为 ， ，则
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．……………12 分
20. 【详解】（1）由题意知点 在抛物线 外部，直线 不会垂直于 轴
（此时 与 无公共点）；
当直线 平行于抛物线的对称轴 x轴时， 与抛物线 有且仅有一个公共点，此时直线 的方
程为 ；……………1 分
当直线 与抛物线 相切时，斜率存在且不等于 0，
可设 的方程为 ，由 ， 得 ，
由 ，解得 或 1，
则 的方程为 与 ，
即 与 ，
综上： 的方程是 或 或 . ……………6 分
（2）设 ，直线 的方程为 ，
将直线 的方程与抛物线方程联立， ，
得 ， , ， ,……………7 分
所以 ，所以 ，
又抛物线 的准线为 , 所以 ，
则 ，整理得 ，
解得 或 （舍），
则
． ……………12 分
21.【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 是公差为 的等差数列； ……………4
分
（2）①因为 ，所以 ，所以 ，
，
，
，
两式相减得 ，
，所以 ，
； ……………8 分
② 对任意的 恒成立， ，则 对任
意的 恒成立， ……………9 分
令 = ，
为递减数列，则当 时， ， . ……………12 分
22.【详解】（1）由题意点 在双曲线 上，离心率
可得； ，解出， ，
所以，双曲线 的方程是 ……………4 分
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