湖北省七市州2024届高三下学期4月调考试题（三模）数学 含答案

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第九届湖北省高三(4 月)调研模拟考试
数 学 试 卷
命题单位：襄阳市教育科学研究院 2024. 4
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知 A={x|x²-3x+2<0},B={x|1<x<a},若 A B,⊆则实数 a 的取值范围是
A.{a|1<a<2} B.{a|1<a≤2} C.{a|a>2} D.{a|a≥2}
2.已知点 A(1,1),B(4,2)和向量 a=(2,λ),若(
a
⃗
AB ,
则实数 λ 的值为
A . − 2
3
B.
2
3
C . − 3
2
D.
3
2
3.若 1,a,3 成等差数列,1,b,4 成等比数列,则 a/b 的值为
A . ± 1
2
B.
1
2
C.1 D.±1
4.双曲线
两渐近线的夹角为
A.π/3
B . 2π
3
C.π/6
D . 5π
6
5.已知 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,
f
(
x
)
=e²ˣ −1
(其中 e 为自然对数的底数)，则
f
(
ln 1
3
)
=¿
A.3 B. -3 C.8 D. -8
6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则“a=b”是“acosB=bcosA”[的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.球类运动对学生的身心发展非常重要 .现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓
球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年
至多选 3 门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只
上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有
A.210 种 B.78 种 C.150 种 D.144 种
8.在三棱锥 P-ABC 中,平面 ABC⊥平面 PBC,△ABC 和△PBC 都是边长为 2
❑
√
3
的等边三角形，若 M
为三棱锥 P-ABC 外接球上的动点，则点 M 到平面 ABC 距离的最大值为
A .❑
√
6−❑
√
2
B .❑
√
6+❑
√
2
C . ❑
√
5−1
D .❑
√
5+1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.在复数范围内关于 x 的实系数一元二次方程
x²+px+2=0
的两根为 x ,x ,₁ ₂ 其中
x₁=1+i ,
则
A. p=2
B . x ₂=1− i
C . x1⋅x2=−2i
D . x1
x2
=i
10.已知 a>b>0,a+b=1.则下列结论正确的有
A .❑
√
a+❑
√
b
的最大值为
❑
√
2
B.2² ᵃ+22b+1
的最小值为 4
❑
√
2
C . 1
2a+b+4
a+2b
的最小值为 3 D. a+sinb<1
11.已知抛物线
y²=8x
的焦点为 F，准线与x轴的交点为 C，过点 C 的直线 l 与抛物线交于A，B
两点，A 点位于 B 点右方，若∠AFB=∠CFB，则下列结论一定正确的有
A.|AF|=8
B .∨AB∨¿8❑
√
7
3
C . SAFB=16❑
√
3
3
D.直线 AF的斜率为
❑
√
3
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.设函数 f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)对任意的 x(x∈R)均满足 f(-x)=f(x),则 tanφ=
.
13.已知 x，y 之间的一组数据：
x 0 1 4 9
y1 2.98 5.01 7.01
若y 与
❑
√
x
满足回归方程.
^
y=b❑
√
x+a ,
则此曲线必过点 .
14.若当 Δx→0 时,
f
(
x0+Δx , y0
)
− f
(
x0, y0
)
Δx
无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二
元函数 z=f(x,y)在点(x ,y)₀ ₀ 处对 x 的偏导数,记为
f'ₓ
(
x₀, y ₀
)
,
即
f'ₓ
(
x₀, y ₀
)
=¿
lim
Δx → 0
f
(
x0+Δx , y0
)
− f
(
x0, y 0
)
x;
若当 Δy→0 时, 无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函
数z=f(x,y)在点(x ,y)₀ ₀ 处对y的偏导数,记为
f ' y
(
x0, y0
)
,
即
f ' y
(
x0, y0
)
=¿
lim
Δy → 0
f
(
x0, y0+Δy
)
−f
(
x0, y0
)
Δy .
已知二元函数.
f
(
x , y
)
=x²−2xy+y³,
则 f'x(m,n) +f'y(m,n)的最小值为 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题 13 分)
已知三棱柱 ABC-A B C₁ ₁ ₁ 中,AC=AA =4,BC=2,∠ACB=90°,A B⊥AC .₁ ₁ ₁
(1)求证:平面 A ACC ⊥₁ ₁ 平面 ABC;
(2)若∠A1AC=60°,且 P 是 AC 的中点,
求平面 BA P₁和平面 A ACC₁1的夹角的大小.
16.(本小题 15 分)
襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用(单位：千元)，
寒假期间对游览某签约景区的 100 名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所
示的频数分布表：
组别
(支出费用) [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16]
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于 10000 元的概
率；
(2)若襄阳市民的旅游支出费用X 近似服从正态分布 N(μ,σ²),μ近似为样本平均数 x(同
一组中的数据用该组区间的中间值代表)，σ近似为样本标准差 s，并已求得s≈3，利用所得正
态分布模型解决以下问题：
(i)假定襄阳市常住人口为 500 万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在
15000 元以上;
()若在襄阳市随机抽取 3 位市民，设其中旅游费用在 9000 元以上的人数为 ξ，求随机变
量ξ的分布列和均值.
附：若 X~N(μ,σ²),则 P
(
μ −σ ≤ X ∈μ+σ
)
≈0.6827 , P
(
μ −2σ ≤ X ≤ μ+2σ
)
≈
0,9545,P(μ-
3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
17.(本小题 15 分)
已知函数.
f
(
x
)
=ln
(
1+x
)
+ax ²− x
(
a
)
0¿.
(1)讨论 f(x)的单调区间;
(2)若函数
g
(
x
)
=x − ln
(
1+x
)
, α ∈
(
0,π
2
)
.
证明：
g
(
sin α
)
+g
(
cos α
)
<1
2.
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