湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试 数学 参考答案

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数学参考答案及评分标准
2024.3
1-8：BCBA ABDC 9.ACD 10.ABD 11.BCD
12.
4
1
13. 3，
62
（填对一空得 3分） 14.
4
2
8.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成
等边三角形的情况，设三个半径为 1 的圆的圆心分别为
1 2 3
, , ,O O O
设被覆盖的圆的圆心为
O
，
如图所示，设圆
1
O
与
2
O
交于
,A B
，
1 2
O O
交
于
H
，
交圆
3
O
于
C
，
方法 1：设
1 2 3
OO OO OO x  
，
1
3
2
x
O H 
，
2
x
OH
，
2 2
3 3
1 ( 1
2 2 2 4
x x
OA OH HA x x     ）
，又
3 3 1OC OO O C x OA  
，
所以圆
O
的最大半径为
OA
，下求
OA
的最大值，设
2
3
( ) 1
2 4
x
f x x 
，
2
2
4 3 3
( )
2 4 3
x x
f x
x
 
，
所以
( )f x
在
3
(0, )
3
为增函数，在
3 2 3
( , )
3 3
为减函数，
max
3 2 3
( ) ( )
3 3
f x f 
，
即被完全覆盖的最大的圆的半径为
2 3
3
.
此时
1 2 2 3 3 1 1O O O O O O  
，即圆
1
O
、圆
2
O
、圆
3
O
中的任一圆均经过另外两圆的圆心.
方法 2：同上，设
1
AO H
 
，
11O A
，
1cos , sinO H AH
 
 
，
1 3
cos 2cos
,
3 3
OH OO OO
 
 
，
3 3
2cos 1
3
OC OO O C
 
，
cos sin
3
OA OH HA OC
 
cos 2 3 2 3
sin sin( )
3 6 3
3
OA OH HA
 
 
 
，
即当
3
时，
OA
的最大值为
2 3
3
，即被完全覆盖的最大的圆的半径为
2 3
3
.
此时
1 2 2 3 3 1 1O O O O O O  
，即圆
1
O
、圆
2
O
、圆
3
O
中的任一圆均经过另外两圆的圆心.
14.解析：设
( )f x
的零点为
t
，则
2
1 1
ln( ) 0
3 9
at b t  
，即
21
9
10
3
t
at b e
 
（*），
设
( , )P a b
为直线
21
9
1
: 0
3
t
l tx y e
 
上任意一点，
坐标原点
O
到直线
l
的距离为
21
9
21
9
t
e
h
t
，因为
( , )P a b
到原点的距离
2 2
a b h 
，
下求
h
的最小值，令
21 1
( )
9 3
t m m 
，则
( )
m
e
g m m
，
2
( 1)
( )
m
e m
g m m
( )g m
在
1
( ,1)
3
为减函数，在
(1, )
为增函数，即
min
( ) (1)g m g e 
，
此时
21 2 2
19 3
t t  
，所以
l
的斜率为
2 2k 
，
1 2
4
b
a k
   
（此时
2 2 ,
3 3
e e
a b 
）.
15.（1）证明：因为
PBC
为正三角形，
O
是
BC
中点，所以
BCPO
，……1 分
又因为平面
PBC
平面
ABCD
，所以
PO
平面
ABCD
，
BDPO
…………3 分
044
2
1
)
2
1
()( 22 BABCBABCBABCAOBD
，
AOBD
，
BDAO
……5 分
又
AOPO,
在平面
POA
内且相交，故
BD
平面
PAO
………6 分
（2）解：
OE,
分别为
BCBD,
的中点，
DCEO //
，又平面
PDC
过
DC
且不过
EO
，
//EO
平面
PDC
，……7 分
又平面
OEF
交平面
PDC
于
QF
，故
QFEO //
,进而
DCQF //
，
因为
F
是
PC
中点，所以
Q
是
PD
的中点.…………8 分
方法 1：以
O
为原点，
OPOCOE ,,
所在直线分别为
zyx ,,
轴建立空间直角坐标系，
则
)
2
6
,
2
2
,1(),0,2,2(),0,2,0(),6,0,0( QDCP
，
)6,2,0(),0,0,2( PCCD
…………9 分
设平面
PCD
法向量为
),,( zyxn
，由
0
0
nPC
nCD
，
062
02
zy
x
取
)1,3,0(n
，…………11 分
)
2
6
,
2
2
,1(OQ
2
2
32
6
|,cos|sin OQn
……12 分
所以
4
……13 分
方法 2：过点
O
作
PC
的垂线，垂足为
H
，连接
QH
……9 分
因为
BCDC
且
PO
平面
ABCD
，
DCPO
，故有
DC
平
面
BPC
，平面
PCB
与平面
PCD
垂直且交线为
PC
，故
OH
平
面
DPC
，故直线
OQ
与平面
PCD
所成角
OQH
……10 分
在直角三角形
OHC
中，
2,60 OCOCH
,
所以
2
6
OH
……11 分
因为
DC
平面
PBC
，故
PCDC
，又
DCQF //
，
所以
PCQF
.在直角三角形
QFH
中，
2
2
,1 FHQF
，所以
2
6
QH
……12 分
在直角三角形
OQH
中
2
6
QHOH
，所以
45
…………13 分
16.解：（1）列联表………2 分
零假设为
0
H
:性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
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