湖北省荆州中学2021级高三下学期第三次适应性考试数学参考答案

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荆州中学 2021 级高三第三次适应性考试
数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D A C D D C A ABC ABC AC
8. 设 的中点为 ，设 ，则 ，得
，则 ，设直线 的倾斜角为 ，又 ，所以
，可得 ，所以直线 的倾斜角为 ，则 的斜率为
，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，
11. 设点 ，由已知得 ，整理得 ，所以点 的轨迹为曲线 的方程为
，故 A正确；又离心率 ，故 B不正确；
圆 的圆心 到曲线 的渐近线为 的距离为 ，
又圆 的半径为 1，故 C正确；
直线 与曲线 的方程联立 整理得 ，
设 ， ，且 ，
有 ，所以 ，
要满足 ，则需 ，解得 或 或 ，当 ,此时
，而曲线 E上 ，所以满足条件的直线有两条，故 D不正确，
故选：AC.
14.记事件 “抽取学生是勤生”， 事件 “抽取学生是懒生”， 事件 “抽取学生流下了悔恨的
泪水”，
则依题意有 ，
同理，
故
所以
15. 证明：（1） ；
，
……………………………………………………3 分
（2）
……………………………6 分
…………………………………………...7 分
……………………………………………………………..8 分
（3）
………………………………9 分
……………………………….14 分（错位相减法操作
程序到位，结果不对可以给到 12 分，建议只扣 2分）
……………………………………………………15 分
16. (1)证明　如图，连接
BD
，设
BD
∩
AC
＝
G
，连接
EG
，
FG
，
EF
.
在菱形
ABCD
中，不妨设
GB
＝1.由∠
ABC
＝120°，可得
AG
＝
GC
＝…………1
分
由
BE
⊥平面
ABCD
，
AB
＝
BC
，可知
AE
＝
EC
.
又
AE
⊥
EC
，
所以
EG
＝，且
EG
⊥
AC
……………………………………………………………2
分
在 Rt △
EBG
中，可得
BE
＝，故
DF
＝.
在 Rt △
FDG
中，可得
FG
＝.
在直角梯形
BDFE
中，由
BD
＝2，
BE
＝，
DF
＝，可得
EF
＝，……………4 分
从而
EG
2＋
FG
2＝
EF
2，所以
EG
⊥
FG
.又
AC
∩
FG
＝
G
，可得
EG
⊥平面
AFC
.
因为
EG
⊂平面
AEC
，
所以平面
AEC
⊥平面
AFC
……………………………………………………………………7 分
(2)解　如图，以
G
为坐标原点，分别以
GB
，
GC
的方向为
x
轴，
y
轴正方向，|
GB
|为单位长度，建立空间
直角坐标系
G
－
xyz
，…………………………………………………………………………8 分
由(1)可得
A
(0，－，0)，
E
(1，0，)，
F
，
C
(0，，0)……………………………………………………………………………………9 分
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