湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案

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湖北省部分省级示范高中 2023～2024 学年上学期高二期末测试
数学试题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
C
A
B
A
D
ABC
BD
AD
ACD
13.
24
14.
2
n
15.
3 3
3 3
 
 
 
，
16.
22
4 (2 ) 4
y x分 ； （3分）
17. 解：（1）设数列
 
n
a
的公差为
d
，因为
，
所以
 
3 7 6 6
3 2 8a a a d a d d  
.
解得
4d 
.
所以
 
66 4 24
n
a a n d n  
......................................................................................................（5 分）
（2）由（1）可知：
14 24 20a 
所以
 
2
20 4 24 2 22
2
n
n n
S n n
 
 
 
 
.
令
0
n
S
，得
2
2 22 0n n 
，
解得：
11n
（
0n
舍去）
因为
*
nN
，所以
n
的最小值是 12.................................................................................................. (10 分)
18. 解：（1）由圆 C：
2 2 2x y 
，得圆的圆心（0，0），半径
2
；
点
(1, 1)A
在圆上，设切线斜率为
k
所以
1 0 1
1 0
k 
 
，
解得
1k
，
故切线方程为
2 0x y  
.................................................................................................................（6 分）
（2）当直线斜率不存在时，直线
= 1x
满足条件，
当直线斜率存在时，设 l：
2 ( 1)y k x 
，即
2 0kx y k   
，
则圆心到直线距离
2
2
1
k
d
k
，所以
 
2
2
2
21 2
1
k
k
 
 
 
 
，
解得：
3
4
k
，所以直线 l方程为:
3 4 5 0x y  
综上，直线 l的方程为
或
3 4 5 0x y  
.............................................................................（12 分）
{#{QQABLQYUoggIABJAAQgCEwEaCgMQkBGAAAoGABAIsAAASQNABAA=}#}
19. 解：（1）证明：根据题意，数列
 
n
a
满足
12 3 2n
n n
a a
 
，
等式两边除以
1
2n
，可得
1
1
3
2 2 2
n n
n n
a a
 
，即
1
1
3
2 2 2
n n
n n
a a
 
，
故数列
2
n
n
a
 
 
 
是以
11
2
a
为首项，
3
2
为公差的等差数列； ......................................................（6 分）
（2）所以
3 1
1 ( 1) (3 1)
2 2 2
n
n
an n 
，所以
1
(3 1) 2n
n
a n
 
..
由数列
 
n
b
满足
12n
n n n
b b a
 
，可得
1
1(3 1)
2
n n
b b n
 
，
可得
1
3 1 3
( 1) 2( 2)
2 2 2
n n
b b n n n
 
，
当
2n
时，可得
 
1 1 2 2 1 1n n n n n
b b b b b b b b
 
 
2
3 3 3 3 ( 2)( 1) 5 3
2 ( 1) 2 2 2 1 2( 1) 1
2 2 2 2 2 4 2
3
4
n n
n n n n n
 
     
，
又因为
11b
，适合上式，
所以数列
 
n
b
的通项公式
253
4
3
4 2
n
b n n  
.................................................................................................（12 分）
20. 解：（1）由已知得
1c
，
又因为右焦点
 
1, 0F
与短轴端点间的距离为
2
得
2 2 2
2 1b c  （ ）
，...........................................................................................................................（2 分）
则
C
的方程为
2
2
21
xy 
......................................................................................................................（4 分）
（2）由题可知，若
OPQ
面积存在，则斜率不为 0，
所以设直线
l
的方程为
1,x my m 
显然存在，
 
1 1 2 2
, , ,P x y Q x y
，
联立
2
2,
21
1,
xy
x my
 
 
消去
x
得
 
2 2
2 2 1 0m y my  
，
因为直线
l
过点
F
，所以
Δ 0
显然成立，
且
1 2 1 2
2 2
2 1
,
2 2
m
y y y y
m m
   
 
...................................................................................................（6 分）
因为
 
2
1 2 1 2 1 2
1 1 4
2 2
OPQ
S OF y y y y y y
 
{#{QQABLQYUoggIABJAAQgCEwEaCgMQkBGAAAoGABAIsAAASQNABAA=}#}
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