天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案

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滨海新区 2020-2021 学年度第二学期期末质量检测
高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 100 分钟.
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上 . 答卷时，考生务必将
答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第I卷 选择题 （60 分）
一、选择题：本卷共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.
（1）i是虚数单位，则 =
（A） （B） （C） （D）
（2）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了 100 次试验，发现正面朝
上出现了 40 次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
（A） （B） （C） （D）
（3）经过同一条直线上的 3个点的平面
（A）有且仅有 1个 （B）有无数个 （C）不存在 （D）有且仅有 3个
（4）若一组数据为 3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的 75%分位数为
（A）7.5 （B）8 （C） 8.5 （D）9
（5）已知 为空间两条不同的直线， 为两个不同的
平面，下列命题中不正确的是
（A） 若 ， ， 则 （B） 若
， ，则
（C）若 ， ，则 （D）若 ， ，则
（6）已知 为单位向量， ，当向量 ， 的夹角等于 时，向量 在向量 上的投
影向量为
（A） （B） （C） （D）
（7）i是虚数单位.若复数 为纯虚数，则复数 在复平面内对应
的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（8）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为 的正方形，则这个圆柱的表面积是
（A） （B） （C） （D）
（9）甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶 6次，每次命中的环数如下表：
则下列说法正确的是
（A）乙比甲射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定
（B）乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定
（C）甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定
（D）甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定
（10）空气质量 AQI 指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当
AQI 指数值不大于 100 时称空气质量为“优良”.如图所示的是某市 4月1日~20 日空气质量
AQI 指数变化的折线图，则下列说法中错误的是
（A）这 20 天中空气质量最好的是 4月17 日
（B）这 20 天空气质量 AQI 指数的极差是 240
（C）总体来说，该市 4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好
（D）从这 20 天的空气质量 AQI 指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优
良”的概率是 0.5
（11）已知平面向量 满足 与 的夹角为 ，记 ，则
的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
（12）如图，矩形 ABCD 中，AB=2AD，E为边 AB 的中点.将 ADE 沿直线 DE 翻折成
A1DE（A1平面 BCDE）.若 M在线段 A1C上（点 M与A1，C不重合），则在 ADE 翻折
过程中，给出下列判断：
①当M为线段 A1C中点时，|BM|为定值；
②存在某个位置，使 DE A1C；
③当四棱锥 A1—BCDE 体积最大时，点 A1到平面 BCDE 的距离为 ；
④当二面角 A1—DE—B的大小为 时，异面直线 A1D与BE 所成角的余弦值为 .
其中判断正确的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
甲8 4 9 5 7 9
乙8 7 7 8 7 7
（第 12 题）
（第 10 题）
第II卷 （90 分）
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共 12 小题，共 90 分.
二、填空题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.
（13）i是虚数单位.若复数 ，则 .
（14）已知向量 ，且 ，则 的值为 .
（15）如图，在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 .
（16）对于事件 A与事件 B
，
已知 P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果，则 P(AB)= .
（17）某市供电部门为了解节能减排以来本市居民的用电量情况，通过抽样，获得了1000
户居民月平均用电量（单位：度），将数据按照[50，100），[100，150），…，[300，350]
分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．则频率分布直方图中 的值为 ；根据频
率分布直方图近似估计抽取的这 1000 户居民月用电量的中位数为 .（精确到 0.1）
（18）甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为 ，乙达标的概率为 ，两人能
否达标互不影响.（i）两人都达标的概率为 ；（ii）至少有一人达标的概率为 .
（19）立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，在
《九章算术·商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为
鳖臑”.意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫 “堑堵”，如图 1.再把
一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为 “阳
马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图 2.
现有一四面体 ，已知 ，根据上述史
料中“鳖臑”的由来，可得这个四面体的体积为 ；该四面体的外接球的表面积为 .
（20）已知四边形 ， ， ， ，且 ，
（i） ；（ii）若 ，动点 在线段 上，则 的最大值为
.
三、 解答题：本大题共 4小题，共 50 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（21）（本小题满分 12 分）
在 中，角 所对的边分别为 .已知
（Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值.
(22)（本小题满分 12 分）
垃圾分类，人人有责.2020 年12 月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根
据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放.已知滨海新区某校高一、高二、高三 3个年
级学生的环保社团志愿者人数分别为 30，15，15.现按年级进行分层，采用比例分配的分层
随机抽样的方法从中抽取 4名同学参加垃圾分类知识交流活动.
（Ⅰ）应从高一、高二、高三 3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的 4名同学分别用 表示,现从中随机抽取 2名同学分别在上午和下午
作交流发言.
（i）写出这个试验的样本空间；
（ii）设事件 M=“抽取的 2名同学来自不同年级”，求事件 M发生的概率.
（23）（本小题满分 13 分）
如图，在三棱柱 中， 平面 , , 是 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
（24）（本小题满分 13 分）
在 中，已知内角 所对的边分别为 ， 向量
，向量 ，且 ∥.
（Ⅰ）求角 的大小；
（第 15 题） （第 17 题）
（ 第 19 题-图
2）
（ 第 19 题-图
1）
摘要：

滨海新区2020-2021学年度第二学期期末质量检测高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.（1）i是虚数单位，则=（A）（B）（C）（D）（2）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和...

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