中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期12月月考试题 数学 PDF版含答案

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标准学术能力诊断性测试 2024 年12 月测试
数学试卷
本试卷共 150 分
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1． 已知集合
 
1,2,3,4 , 2,2PQ= = −
，下列结论成立的是
A．
QP
C．
P Q Q=
B．
P Q P=
D．
 
2PQ=
2． 已知
，
i
为虚数单位，若复数
( )( )
2 i ia++
的实部与虚部相等，则
a=
A．
3−
B．
2−
C．
2
D．
3
3． 已知
( )
sin 2sin sin ,tan tan 2
 
+ = = −
，则
( )
tan

+=
A．
4
3
−
B．
4
3
C．
2−
D．
2
4． 斜率为 1的直线
l
经过
( )
1,0
点，且与抛物线
24yx=
交于
,AB
两点，则
AB =
A．
4
B．
42
C．
8
D．
82
5． 已知
、
( )
PB
分别表示随机事件
A
、
B
发生的概率，则
( )
1P A B−
是下列哪个事件的
概率
A．事件
A
、
B
同时发生
B．事件
A
、
B
至少有一个发生
C．事件
A
、
B
都不发生
D．事件
A
、
B
至多有一个发生
6． 已知
01a
，设
2
log , log 4
a
m a n==
，则
mn+
的取值范围为
A．
(
,2− −
B．
)
2,0−
C．
(
0,2
D．
)
2,+
7． 设
( ) ( )
2
3f x x x=−
，若方程
( ) ( )
f x k k=R
有3个不同的根
,,abc
，则
abc
的取值范围为
A．
( )
4,0−
B．
( )
2,0−
C．
( )
0,4
D．
( )
0,2
8． 已知双曲线
的左、右焦点为
( ) ( )
12
2,0 , 2,0FF−
，
的一条渐近线为
yx=
，点
P
位于第一象
限且在双曲线
上，点
M
满足：
1 2 1
,F PM MPF MF MP =  ⊥
，则
12
MF MF+
的最大值为
A．
26
B．
42
C．
2 10+
D．
46
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得 6分，部分选对但不全得 3分，有错选的得 0分.
9． 已知直线
00
:l x x y y m+=
与圆
22
:1C x y+=
，
( )
00
,P x y
，则下列判断正确的是
A．若点
P
在圆
C
上，且直线
l
与圆
C
相切，则
1m=
B．若点
P
在圆
C
内，且
1m=
，则直线
l
与圆
C
相交
C．若
0
1, 2my==
，则直线
l
与圆
C
相交
D．若
0m=
，则直线
l
截圆
C
所得弦长为 2
10．我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相
等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是
A．三棱台体不是“刍甍”
B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形
C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍”
D．“刍甍”存在两个互相平行的面
11．已知等差数列
 
n
的公差为
，
cos
nn
b
=
，数列
 
n
b
的前
n
项和为
n
S
，
 
*
n
S S n=N
，
若存在
1
，使得
 
,,S a b c=
，则
可能的取值为
A．
3
B．
2
C．
2
3
D．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．如图所示，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
的中点，
F
在
BC
上且
2CF FB=
，
AF
与
DE
交于
点
M
，则
cos DMF=
．
13．已知
( )
sinf x x=
，记函数
( )
y f x=
在闭区间
I
上的最大值为
I
M
．若正数
k
满足
 
0, ,2
2
k k k
MM=
，则
k=
．
14．已知
( ) ( )
e , ln
x
f x ax g x x ax= − = −
，若对任意
( )
10,x +
，都存在
( )
20,x +
，使得
( ) ( )
1 2 1 2
f x g x x x=
，则实数
a
的取值范围为 ．
M
F
E
D
C
B
A
（第 12 题图）
{#{QQABBQYEogiAABIAABgCEwXCCkEQkgCACSgOhFAAsAAByBNABAA=}#}{#{QQABDQKg5giQgAbACB6qE0XGC0sQkoAjLSgEAUAMKAwDCBNIBAA=}#}
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四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）设等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，已知
315S=−
．
（1）若
17a=−
，求
 
n
a
的通项公式；
（2）若对于任意
*
nN
，都有
7n
SS
，求公差
d
的取值范围．
16．（15 分）如图所示，在四棱锥
P ABCD−
中，底面
ABCD
为平行四边形，点
E
为棱
PD
的中点．
（1）设平面
ABE
与直线
PC
相交于点
F
，求证：
EF
平面
ABCD
；
（2）若
平面
ABCD
，
2, 60 , 2 2BC CD BCD PD= =  = =
，求直线
BE
与平面
PCD
所成角的大小．
17．（15 分）某校高一学生共有 500 人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业
完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长
n
与学业成绩
m
的数据表：
平均作业时长
n
（单位：小时）
)
1,1.5
)
1.5,2
)
2,2.5
)
2.5,3
)
3,3.5
学业成绩优秀：
90 100m
1
14
37
43
5
学业成绩不优秀：
0 90m
136
137
102
18
7
（1）试判断：是否有 95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于 2小时且小于 3小时
有关？
（2）常用
( ) ( )
( )
P B A
L B A P B A
=
表示在事件
A
发生的条件下事件
B
发生的优势，在统计中称为似
然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比 25%，现从所有高一学生中任选一人，
A
表示“选到的是男生”，
B
表示“选到的学生成绩优秀”，若
( )
0.2L B A =
，求
( )
PA
．
附：
( )
( )( )( )( )
( )
2
22
, 3.841 0.05
n ad bc P
a b c d a c b d

−
=  
+ + + +
．
18．（17 分）设
( )
1
lnf x a x x
=+
．
（1）当
1a=
，求函数
( )
y f x=
的递减区间；
（2）求证：函数
( ) ( ) ( )
1ln 2g x f x a x
x
= − − −
的图象关于
( )
1,0
对称；
（3）若当且仅当
( )
0,1x
时，
( )
f x x
，求实数
a
的取值范围．
19．（17 分）在直角坐标平面
xOy
内，对于向量
( )
,m x y=
，记
m x y=+
．设
,,abc
为直角坐
标平面
xOy
内的向量，
( )
1,1a=
．
（1）若
( )
1,2b=−
，求
ab−
；
（2）设
( )
1, 1b= − −
，若
4c a c b− + − =
，求
c
的最大值；
（3）若
2, 2b c b c= =  =
，求证：
3 3 3 2 6 2 3b c a− + − +
．
（第 16 题图）
{#{QQABBQYEogiAABIAABgCEwXCCkEQkgCACSgOhFAAsAAByBNABAA=}#}{#{QQABDQKg5giQgAbACB6qE0XGC0sQkoAjLSgEAUAMKAwDCBNIBAA=}#}
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