云南省玉溪市一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 含答案

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数学学科试卷
总分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：张琪冉伊 审题人：赵海帆
亲爱的同学，如果把这份试卷比作一片湛蓝的大海，那么，我们现在启航，展开你自信和智
慧的双翼，乘风踏浪，你定能收获无限风光！仔细审题，认真答题，你将会有出色的表现！
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.其中第 1-11 题为单项选择题，第 12 题为多
项选
1、设 i 是虚数单位，则复数 z 2i(2 i) 对应的点在复平面内位
于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、
x y
是
ln x ln y
成立
的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、 已知 M , N 均为 R 的子集，且 CRM N , 则M (CR N)
C.
A.
M
B. N D. R
2 x2
4 、函数 f (x) 的图象关于
x
直线
y x
对称
A. x 轴 对 称 B. 原 点 对 称 C. y 轴 对 称 D.
5、如图所示，设 A, B 两点在河的两岸，一测量者与 A 在河的同侧，在
所
在的河岸边先确定一点 C ，测出 A, C 的距离为 50m ， ACB 45。，
CAB 105。后，可以计算出 A, B 两点的距离
为
A. 50 2m B. 50 3m C. 25 2m D. 25 2 m
2
第 1 页 共 5 页
6、已知 a ， b 是不共线的向量， OA
a
b, OB 3a 2b, OC 2a 3b. 若 A, B, C 三
点共
线，则实数
,
满足
A.
1 B.
5 C.
5
D.
1
7、设向量 AB (1,2) , BC (2, t) ，且 AB AC ，则实数 t 的值
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
2
2
8
8 、已知函数 f (x) sin 2x a cos2x 的图象关于直线 x 对称，则实数 a 的值是
A. 1 B. 2
C. 1 D. 1
2
9、将函数
f
(x)
sin
x(
0)
的图象向右平移
个单位长度，所得图象经过点
（3
，0）
，
4
4
的最小值是
A. 1
3
C. 5
3
B.
1
D. 2
10、在下列区间中，方程 ex 4x 3 的解所在的区间为
A（.
1
，
1
1 1 1 3
B
（.
0
，） C.
（ ，）
D（.，）
2 4
4 4
4 2
11、若 2a log a 4b 2 log b ，则
2 4
A. a b2B. a b2C. a 2b D. a 2b
12、（多选题）设 z1, z2 , z3 为复数， z1 0
，下列命题中正确的
是
，则 z2 z3
A.z2z3
若
若z1z2 z1z3 ，则 z2 z3
B.
若 z2 z3 ，则 z1z2
C.z1
z
3
2
，则 z z
若
z z
D.
z
1 2
1
1 2
第 2 页 共 5 页
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
分.）
x 1
0
的解集是 （结果请用集合表示）；
13、不等式
x 1
14、我国采用的“密位制”是 6000 密位制，即将一个圆周分为 6000 等份，每一等份是一个密位，
那么 300 密位等于 rad ；
15、已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足
AP
1 (
AD
AC
),则
PB
,
2
PC PA ;（第一空 2 分，第二空 3 分）
16、南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜
幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可
1 2
c2 a2 b2
用公式 S 4 c a (
2 2 （其中 a,b, c, S 为三角形的三边和面积）表示．在△
A
BC
)
2
 
2
2c
中， a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的 边，若 a 3, 且b cosC c
cos
B
，则△ ABC 面积的
3
最大值为 ．
三、解答题（本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17、（10 分）已知向量 b (2,2),
2, 且 a // b ，求 a
的坐标.
（1）若 a
（2）求与 b 垂直的单位向量的坐标.
第 3 页 共 5 页
18、（12 分）已知函数 f (x) 2x ，x R .
（1）若函数 f (x) 在区间t , 2t上的最大值与最小值之和为 6 ，求实数 t
的值;
（2）若 f (1) 3, 求3x 3 x 的值.
x
19、（12 分）
（1）已知函数 f (x) tan( x ) 求函数 f (x) 的定义域和对称中心；
6
（2）比较 tan1, tan 2, tan 3
的大小.
1
20、（12 分）在△ ABC 中，角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c ，且 cosC ，c 8 .
再
从条件
7
①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1） b 的值；
（2）角 A 的大小和△ ABC 的面积.
条件①： a 7 ； 条件②： cos B 11 .
14
备注：如果选择条件条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.
第 4 页 共 5 页
21、（12 分）已知某海滨浴场海浪的高度 y （米）是时间 t（0 t 24，单位：时）
的函数，
记
作： y f (t), 下表是某日各时的浪高数据：
经长期观察， y f (t) 的曲线可近似地看成是函数 y Acos
t b 的图象.
（1）根据以上数据，求函数 y Acos
t b 的最小正周期T ,振幅 A 及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度高于
1
米时才对冲浪爱好者开放，请．依．据．（．1．）．中．的．
结．论．，判断一天
内的
10：00
至
20
:
00
之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
3),C(cos
,sin
)
，其
中
22、（12 分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(1,0), B(0,
.
，
2
（1）求 AC BC 的最小值；
（2）是否存在
， ，使得△ ABC 为钝角三角形？若存在，求出
的取值范围；若不存在，
2
说明理由.
第 5 页 共 5 页
t(时) 0 3 6 9 12 15 18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5 0.99
1.5
玉溪一中 2020-2021 学年下学期高一年级期中考试
数学学科试卷参考答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.第 12 题选错不得分，漏选得 3 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（10 分）
x2 y2 2
解：（1）设
a
(2,
2)
，
则
2 y 2x
x=1 x=-1
解得 或
y 1y
1
于是 a 1, 1 或a
1,
1
（2）设与 b 垂直的单位向量 e (x, y) ，则
x=
x=
2 2
2
x2 y2 1
2
或
2
，解得 ，
2
2x 2 y
0
y
y
2 2
2 ,
2 ) 或e
2 ,
2
)
于是 e ( 2 2 2 2
1
题号 13 14 15 16
答案 （1,1]
10 5，1
9 3
4
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A B A C B C D C D BC
18、（12 分）
解：（1） f (x) 2x 为 R 上的增函数，则 f (x) 在区间t , 2t
上为增函数.
所以
f (x)min 2 , f (x) 2
，
t2t
max
由22t 2t 6, 得22t 2t 6 0, 即2t 3 （舍去）或2t 2 即t 1.
1
1 lg 3 1
lg 2
1
1
（2）若 f ( ) 3, 则2 x 3, 即 log2 3   ，则 x log3 2 ，
xlg 2 log3 2
x
lg 3
所以
3
x
3
x
3
log
3
2
3
log
3
2
2
1
5
.
2 2
19、（12 分）
 
解：（1）要使函数
f
(x)
tan(
x
)
有意义，必须满足
x
 
k
,
k
Z,
6
6 2
2
解得 x k
, k Z ，
3
2
所以函数 f (x) 的定义域是 x x k
, k Z
.
3
 
k
令
x   , k Z,
6 2
k
 
解得
x , k Z
，
2 6
k
所以
f (x)
的对称中心是
(,0), k
Z.
2 6
（2）因为tan 2 tan(2
) ，tan 3 tan(3
) .
因为 2
，所以   2
0
.
2 2
 
因为 3
，所以   3
0
.
2
2
 
显然   2
3
1 .
2 2
又 y tan x 在(
, ) 内是增函数，
2 2
2
所以 tan(2
) tan(3
)
ta
n1,
即
tan 2 tan 3 tan1
20、（12 分）解：
选择条件①（: 1）因为
c
8,
a
7
，由余弦定理
c
2
a
2
b
2
2ab
co
s
C
，得
.
b2 2b 15
0
.
解得 b 5 或b 3 (舍) .所以 b
5 .
1
（2）因为cos C ， 0 C
，
7
1
2
4 3
所以
sin C 1 cos2 C = 1-=
，
7
7
a c
7 8 3
2
,所以 sin
A
由正弦定理，得 ，
sin Asin
C
sin A4 3
7
因为c a ，所以 C A ，所以 A
.
3
1 ab sin C 1 7 5 4 3 10 3
所以 SABC
2 2 7
11
选择条件②:（1）因为sin B ， 0 B
，
14
11
2
5 3
所以
sin B 1 cos2 B 1
14 14
1
因为
cos C
，
0 C
，
7
1
2
4 3
所以 sin C 1 cos2 C
1
，
7
7
b c
8
，解得 b
5
由正弦定理，得 .
sin Bsin
C
5 3 4 3
14
7
（2）由（1）知 sin B 5， sin C 4，
3
3
14 7
3
又因为cos B 11 , cos C 1 ，且在△ ABC 中 A
(B+C) ，所
14
7
cos A cos(B C) cos B cos C sin B sin C 11 1
3 4 3 1
，
14 7 14 7 2
所以 A
.所以 S
1 bc sin A 1 583 10 3
ABC
3
2 2 2
21、（12 分）解：（1）由表中数据知
T
12
，所以
2
2
.
T12 6
由
t 0, y 1.5,
得
A b 1.5.
由
t 3, y 1.0,
得
b 1.0.
故
A 0.5,
b
1
，
1
所以函数解析式为： y cos t 1.
2 6
1
（2）由题意知，当 y 1 时才可对冲浪者开放，所以 cos t 1 1，
2 6
 
所以
cos t 0
，所以
2k
  t 2k
, k Z,
即
12k 3 t 12k 3,
k
Z.
6
2 6
2
又因为
0 t 24,
故可令
k 0,1,2,
得
0 t 3
或
9 t 15
或
21
t 24
.
所以在规定时间
10：00
至
20
:
00
之间，有 5 个小时可供冲浪者活动，即上午
10
:
00
至下午
3 :
00
.
22、（12 分）解：（1）
AC
(cos
1,
sin
),
BC
(cos
,
sin
3)，
所以 AC BC (cos
1) cos
sin
(sin
3) cos
3 sin
1
2cos(
)
3
5
5
2
因为
， ，所以
  ，.所以当
  , 即
时，
2
3 3 6
3 6
AC BC 取得最小值 1 3.
(1 cos
)2 sin
2
2 2 cos
,
2, ACAB
（2）由题意得
BC cos2
(sin
3)2 4 2 3 sin
.
因为
， ，所以 sin
2, BC 2.
0,
1
,cos
0,
1
, 所以 AC
2
所以△ ABC 为钝角三角形，则角 C 是钝角，从而 CA CB 0.
4
 
1
由（1）得
2cos(
) 1 0,
解得
cos(
) ,
3 3 2
2
5
所以
 ( , ], 即
( , ].
3 3 6 3 2
反之，当
( , ] 时，CA CB 0 ，又 A, B, C 三点不共线，所以△ ABC 为钝角三
角形.
3 2
综上，当
( , ] 时，△ ABC 为钝角三角
形.
3 2
5
玉溪一中 2020-2021 学年下学期高一年级期中考
摘要：

数学学科试卷总分：150分考试时间：120分钟命题人：张琪冉伊审题人：赵海帆亲爱的同学，如果把这份试卷比作一片湛蓝的大海，那么，我们现在启航，展开你自信和智慧的双翼，乘风踏浪，你定能收获无限风光！仔细审题，认真答题，你将会有出色的表现！一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.其中第1-11题为单项选择题，第12题为多项选1、设i是虚数单位，则复数z2i(2i)对应的点在复平面内位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、xy是lnxlny成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知M,N均为R的子集，且CRMN,则...

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