湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题 Word版含解析

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2024-2025 湖北省“新八校协作体”高二年级 12 月联考数学试题❖

一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知空间向量，，若与垂直，则等于()

A. B. C.3 D.

2.椭圆的焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m的值为 

A. B. C.2 D.4

3.某小组有 3名男生和 2名女生，从中任选 2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是()

A.至少有 1名女生与全是女生 B.至少有 1名女生与全是男生

C.恰有 1名女生与恰有 2名女生 D.至少有 1名女生与至多有 1名男生

4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为 80，21，若向这组数据中再添加一

个数据 80，数据，，，80 的平均数和方差分别为，，则()

A. B. C. D.

5.在直三棱柱中，，，E为的中点，则

与AE 所成角的余弦值是()

A. B. C. D.

6.过点的直线 l与椭圆相交于 A，B两点，且 M恰为线段 AB 的中点，则直线 l的

斜率为()

A. B. C. D.

7.已知圆，圆，M，N分别是圆，

上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为()

A. B. C. D.

8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直

线l经过点，且以为方向向量，P是直线 l上的任意一点，则直线 l的方程为

若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一

点，则平面的方程为利用以上信息解决下面的问题：已知平

面的方程为，直线 l是平面与平面的交线，则

直线 l与平面所成角的正弦值为()

A. B. C. D.

二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6

分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。

9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命

中互不影响，甲、乙各投篮一次，则()

A.两人都命中的概率为 B.恰好有一人命中的概率为

C.两人都没有命中的概率为 D.至少有一人命中的概率为

10.设动直线与圆交于 A，B两点，则下列说法

正确的有()

A.直线 l过定点 B.当最大时，

C.当最小时， D.当最小时，其余弦值为

11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形

围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的

棱长为，棱数为 24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个

一样的四面体所得的，下列结论正确的有()

A. 平面 GHMN

B.若E是棱 MN 的中点，则 HE 与平面 AFG 平行

C.若四边形 ABCD 的边界及其内部有一点 P，，则点 P的轨迹长度为

D.若E为线段 MN 上的动点，则 HE 与平面 HGF 所成角的正弦值的范围为

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。

12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点 A到直线 BC

的距离为.

13.若曲线与直线有两个交点，则实数 k的取值范围是.

14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线

的垂线，垂足为 Q，延长与双曲线的右支相交于点 P，若，则双曲线 C的离心率

为.

四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 本小题 13 分

已知圆 C的圆心在 y轴上，且经过点，

求圆 C的标准方程;

过点的直线 l与圆 C交于 A、B两点，若，求直线 l的方程.

16. 本小题 15 分

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

过点，且与双曲线的离心率相等;

两顶点间的距离为 8，渐近线方程为

17. 本小题 15 分

半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半世纪 50 年

代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了

了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识

竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成 5组，其中第一组，第二组，第三组

，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;

现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的“半程马拉松”宣传使

者.若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组

被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;

若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 36 和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差

分别为 42 和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.

18. 本小题 17 分

如图 1，在直角梯形ABCD 中，已知，，将沿 BD 翻折，

使平面平面如图 2，BD 的中点为

求证：平面

若AD 的中点为 G，在线段 AC 上是否存在点 H，使得平面 GHB 与平面 BCD 夹角的余弦值为

若存在，求出点H的位置;若不存在，请说明理由.

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