浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题+含答案

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浙江省杭州高级中学 2023-2024 学年第一学期期中考试试题
高一数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.若
x∈{1,2 , x2}
，则 x的可能值为()
A.0，2 B.0，1 C.1，2 D.0，1，2
2.命题
p:∀x∈N , x3>x2
的否定为()
A.
∀x∈N , x3≤ x2
B.
∃x∉N , x3≤ x2
C.
∃x∈N , x3≤ x2
D.
∃x∈N , x3<x2
3.若 a，b，
c∈R
，
，则下列不等式正确的是()
A.
1
a<1
b
B.
ab<b2
C.
a∨c∨¿b∨c∨¿
D.
a(c2+1)<b(c2+1)
4.已知函数
y=f(2x)
的定义域为
[1,2]
，则函数
y=f(x+1)
x−1
的定义域为()
A.
¿
B.
¿
C.
[0,3]
D.
¿∪¿
5.使“
2x+1
1− x ≥0
”成立的一个必要不充分条件是()
A.
−1
2≤ x ≤ 1
B.
−1
2≤ x<1
C.
x ≤ − 1
2
或
x ≥ 1
D.
x ≤ − 1
2
或
x>1
6.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油
.
现张先生本周按照以下两种方案加油
¿
两次加油时
油价不一样
¿
，甲方案：每次购买汽油的量一定
;
乙方案：每次加油的钱数一定.问哪种加油的方案更经济
()
A.甲方案 B.乙方案 C.一样 D.无法确定
7.已知定义在 R上的奇函数
f(x)
在
(− ∞ , 0)
上单调递减，定义在 R上的偶函数
g(x)
在
¿
上单调递增，且
f(1)=g(1)=0
，则满足
f(x)g(x)>0
的x的取值范围是()
A.
(− ∞ , −1)∪(−1,0)
B.
(−1,0)∪(1,+∞)
C.
(0,1)∪(1,+∞)
D.
(− ∞ , −1)∪(−1,1)
8.已知函数
f(x)=2x2−1, g(x)=ax , x ∈R
，用
M
(
x
)
表示
f
(
x
)
, g
(
x
)
中的较大者，记为
M(x)=max {f(x), g(x)}
，若
M
(
x
)
的最小值为
−1
2
，则实数 a的值为()
A.0 B.
±1
C.
±
√
2
D.
±2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是()
A.
f(x)=3
√
x3
与
g(t)=t
是同一函数
B.奇函数的图象一定过点
(0,0)
C.对于任何一个函数，如果因变量 y的值不同，则自变量 x的值一定不同
D.函数
f(x)= 1
x
在其定义域内是单调递减函数
10.函数
f(x)=a x2+2x+1
与
g(x)=xa
在同一坐标系中的图象可能为()
A. B. C. D.
11.已知
f(x)=
{
x2, x ≥5,
1
2f(x+1), x<5
，则()
A.
2f(4)=f(5)
B.
2f(5)=f(6)
C.
f(1)=15
32
D.当
x∈¿, f (x)=¿¿
12.对于定义在 D函数
f(x)
若满足：
① 对任意的
x∈D
，
f(x)+f(− x )=0;
②对任意的
x1∈D
，存在
x2∈D
，使得
f(x1)+f(x2)
2=x1+x2
2;
则称函数
f(x)
为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为()
A.
f(x)=2x
B.
f(x)=
{
x2,0<x<1
− x2, −1<x<0
C.
f(x)= 1
x
D.
f(x)=¿x − 1
x+1∨¿
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.化简求值：
0. 027
−1
3+¿
__________.
14.函数
f(x)=¿
的单调递减区间为__________，值域为__________.
15.已知函数
f(x)=a x2−(2− a)x+1
，
g(x)=x
，若对于任意实数 x，
f(x)
与
g(x)
至少有一个为正数，则
实数 a的取值范围是__________.
16.已知函数
f(x)=x3+2x−1
2x+1+5
，若实数 a、b满足
f(2a2)+f(b2−2)=10
，则
a
√
1+b2
的最大值为_____
_____
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设集合
A=
{
x
|
−1≤ x ≤ 2
}
，
B=
{
x
|
2m<x<1
}
，
C=
{
x
|
x<−1
或
x>2
}
.
(1)
若
A ∩ B=B
，求实数 m的取值范围；
(2)
若
B∩ C
中只有一个整数，求实数 m的取值范围．
18.已知函数
g
(
x
)
=2x+b
2x− b
，b为非零常数．
(1)
当
b<0
时，试判断函数
y=g
(
x
)
的单调性，并用定义证明；
(2)
当
b=−1
时，不等式
g
(
x2+1
)
+g
(
3− ax
)
>0
对
x∈R
恒成立，求实数 a的取值范围．
19.老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重
量增长率
200 %
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的
含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含
氧量第一年为 8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为
4.5
个单位，含氧量 y与
年份x的函数模型为
y=k ax(k>0,0<a<1)
，当含氧量少于
81
32
个单位，鱼虽然依然生长，但会损失
5 %
的
总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
(1)
试求出含氧量模型函数关系式;
(2)
试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失;
(3)
求出第
n+1
年鱼的总重量
an+1
与第 n年鱼的总重量
an
的关系式
¿
不用证明关系式，n为整数
¿
，并求出签
合同适宜的最短时间是多少年?
20.对于定义域为 I的函数
f
(
x
)
，如果存在区间
[
m ,n
]
⊆I
，使得
f
(
x
)
在区间
[
m ,n
]
上是单调函数，且函数
y=f
(
x
)
，
x∈
[
m , n
]
的值域是
[
m ,n
]
，则称区间
[
m ,n
]
是函数
f
(
x
)
的一个“优美区间”．
(1)
判断函数
y=x2(x∈R)
和函数
y=3−4
x(x>0)
是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一
个“优美区间”？
¿
直接写出结论，不要求证明
¿
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