浙江省杭州第十四中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性监测数学试题答案

3.0 envi 2024-12-26 5 4 118.35KB 5 页 3知币
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高二年级数学学科试卷(10 月)
参考答案
一. 选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．每小题列出的四个选项中只有一个
是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．
1-8 DABAC BDB
二. 多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9.BCD；10.AB；11.CD；12.BCD
7.解：因为
l1⊥l2
，所以
2b+a−4=0
，即
a+1+2b=5
，
因为
a>0
，
b>0
，所以
a+1>0
，
2b>0
，
所以
≥1
5
(
2+2❑
√
2b
a+1⋅a+1
2b
)
+1=4
5+1=9
5
，
当且仅当
a=3
2
，
b=5
4
时，等号成立．
故选 D ．
8.解：如图，以
D
为原点，
DA
为
x
轴，
DC
为
y
轴，
D D1
为
z
轴，建立空间直角坐标系．
设
P(a ,b ,0)(0⩽a⩽2,0 ⩽b⩽2)
， 则
D1(0,0,2)
，
E(1,2,0)
，
B1(2,2,2)
， 所 以
B1P
⃗
=(a−2, b−2,−2)
，
D1E
⃗
=(1,2 ,−2)
，
∵B1P⊥D1E
，
∴B1P
⃗
⋅D1E
⃗
=a−2+2(b−2)+4=0
，
∴a+2b−2=0
，
又由
a=2−2b⩾0
，得
0⩽b⩽1
，
∴
|
B1P
⃗
|
=❑
√
¿¿
，
当
b=0
时，
|
B1P
⃗
|
=2❑
√
2
，当
b=1
时，
|
B1P
⃗
|
=3
，当
b=2
5
时，
|
B1P
⃗
|
=6❑
√
5
5
，
∴
由二次函数性质可得
|
B1P
⃗
|
∈[6❑
√
5
5,3]
，
∴
线段
B1P
的长度的最大值为
3
．
故选 B．
10.解：如下图所示，连接
CD '
，由长方体的性质可知
CD ' /¿BA '
，
则
∠B ' CD' ¿
或其补角
¿
为异面直线
A ' B
与
B' C
所成的角，
则
B' C=D ' C=❑
√
1+λ2
，
B' D'=❑
√
12+12=❑
√
2
，
cos ∠B ' CD '=B ' C2+D ' C2−B ' D '2
2B ' C·D ' C =λ2
1+λ2=1−1
1+λ2
，
因为
λ>1
，所以
1+λ2>2
，
所以
cos ∠B ' CD ' ∈
(
1
2,1
)
，所以
∠B❑'CD ❑'∈(0,π
3)
．
故选：
AB
．
11.解：对于
A
，当
A=π
3
时，根据正弦定理
a
sin A=b
sin B
，得到
sin B=❑
√
3
不成立，故 A
错误；
对于
B
，由余弦定理
cos A=b2+c2−a2
2bc
，得到
b2−3b+2=0
，
∴b=1
或
b=2
，故 B错
误；
对 于
C
，
a=2, b=3
， 要 使
▵ABC
是 锐 角 三 角 形 ， 需 满 足
32+22>c2,22+c2>32
，
∴5<c2<13
，
∴❑
√
5<c<❑
√
13
，故 C正确；
对 于
D
，由正弦定理角化边得：
a2≤ b2+c2−bc
，
∴b2+c2−a2≥ bc
，
∴cos A=b2+c2−a2
2bc ≥1
2
，
∴0<A ≤ π
3
，故 D正确，
故选 CD．
12.解：设
O
是
BD
的中点，则
OA , OB , OC ,OD
两两相互垂直，
二面角
A−BD−C
为直二面角，
OC ⊥BD ⇒OC ⊥
平面
A BD ⇒OC ⊥OF
，
对于
A
选项，连接
BF , CF
，
BF=❑
√
22+12=❑
√
5, CF =❑
√
(❑
√
2)2+12=❑
√
3
，
BC=2
，所以三
角形
BFC
不是等腰三角形，而
E
是
BC
的中点，所以
EF
与
BC
不垂直，
A
选项错误．
对于
B
选项，
AC=❑
√
(❑
√
2)2+(❑
√
2)2=2
，所以三角形
ABC
和三角形
ADC
是等边三角形，所
以四面体
A−BCD
的表面积为
22+2×
❑
√
3
4×22=4+2❑
√
3
，
B
选项正确．
对于
C
选项，由于
OA=OB=OC=OD
，所以
O
是四面体
A−BCD
外接球的球心，外接球
的半径为
❑
√
2
，体积为
4
3π ×(❑
√
2)3=8❑
√
2
3π
，
C
选项正确．
对 于
D
选项，设
G
是
CD
中点，
H
是
AB
中点，画出图象如下图所示，
HF /¿BD , EG /¿BD ⇒HF /¿EG
，
H , F , E ,G
四点共面．
由 于
EG /¿BD , BD ⊄
平 面
EFGH
，
EG ⊂
平 面
EFGH
，所以
BD//¿
平 面
EFGH
，
EG=1
2BD=❑
√
2, FG=1
2AC=1
，由于
OD ⊥OA ,OD ⊥OC , OC ∩OA =O
，
所以
OD ⊥
平面
AOC
，所以
OD ⊥AC
，而
FG //AC
，所以
FG ⊥EG
，
所以截面面积为
EG ⋅FG=❑
√
2×1=❑
√
2. D
选项正确．
故选：
BCD
．
三. 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 0.65； 14. 3.2； 15. ； 16.
−24
25
.
在此处键入公式 。
16.解：由
α
为锐角，
α−π
12 ∈(−π
12 ,5π
12 )
，且
sin
(
α−π
12
)
=3
5
，可得
cos (α−π
12 )= 4
5
，
那么
cos (α+π
6)=cos [(α−π
12 )+ π
4]=cos (α−π
12 )cos π
4−sin (α−π
12 )sin π
4=❑
√
2
10
，
于是
cos (2α+π
3)=2co s2(α+π
6)−1=2׿
故答案为：
−24
25
．
四. 解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：
(1)SΔABC =1
2absinC=1
2× a ×❑
√
3×sin 5π
6=❑
√
3
2
，解得
a=2
，
由余弦定理可得
c=❑
√
a2+b2−2abcosC=❑
√
22+
(
❑
√
3
)
2−2×2×❑
√
3×cos 5π
6=❑
√
13
；
(2)
由正弦定理得
a
sinA =c
sinC =❑
√
3
sin π
3
=2
，
所以
a=2sinA , c=2sinC
，
∵B=π
3
，
∴a=2 sin
(
π
3+C
)
=❑
√
3cosC+sinC
，
∴2c−a=3sinC−❑
√
3cosC=2❑
√
3 sin
(
C−π
6
)
，
∵C∈
(
0,2π
3
)
,C−π
6∈
(
−π
6,π
2
)
，
∴sin
(
C−π
6
)
∈
(
−1
2,1
)
，
∴2c−a
的取值范围是
(
−❑
√
3,2❑
√
3
)
．
18.解：
(1)
由题意易知
BE⊥BC
，则如图所示，分别以
⃗
BE
、
⃗
BC
、
B B1
⃗
为
x
，
y
，
z
轴建立坐标系，则
E(2❑
√
3,0,0)
，
A1(2❑
√
3,−2,3)
，
B1(0,0,3)
，
B(0,0,0)
，
又因为
A1E
⃗
=(0,2 ,−3)
，设
a
⃗
=A1B1
⃗
=(−2❑
√
3,2,0)
，
u
⃗
=A1E
⃗
¿A1E
⃗
∨¿=(0,2
❑
√
13 ,−3
❑
√
13 )¿
所以点
B1
到直线
A1E
的距离
d=❑
√
a
⃗
2−¿¿
；
(2)
又
BE
⃗
=(2❑
√
3,0,0)
，
B A1
⃗
=(2❑
√
3,−2,3)
，
B B1
⃗
=(0,0,3)
，
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