浙江省北斗联盟2023-2024学年高二上学期期中联考试题+数学+PDF版含解析

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高二数学学科 试题 第 1页(共 6 页)
绝密★考试结束前
2023 学年第一学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
命题：淳安二中 北师大嘉兴附中
考生须知：
1．本卷共 6 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，，则 ( )
A. B.  C.  D. 
2.若复数 z满足 （其中 i为虚数单位），则 z的虚部是 ( )
A. 2iB. 2iC. 2D. 2
3.“”是“直线 与直线  互相垂直”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力
对物体做了功，功的计算公式：W F S 
（其中W是功， F
是力， S
是位移）一物体在力
 
12, 4F
和
 
25,3F 
的作用下，由点
( )
1, 0A移动到点
 
2, 4B，在这个过程中这两个力的
合力对物体所作的功等于( )
A. 25 B. 5 C.
5
D.
25
5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称
为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极
图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分包括边
界的动点，则
的最小值为( )
 
1 2 3 4z i i  
{#{QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=}#}
高二数学学科 试题 第 2页(共 6 页)
A.
B.
C.
D. 
6.已知 是定义域为的奇函数，满足 ，若 ，则 
( )
A.  B. C.  D.
7.如图，在三棱锥 中，点 为底面󰒮的重心，点 是线段 
上靠近点 的三等分点，过点 的平面分别交棱 ，
，
于点 ，
，
，若

，
 ， 
，则
( )
A. 
B.
C.
D.
8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁
里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡
盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间
最大球为正四面体
ABCD
的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面
均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体
ABCD
棱长为
，则模型中九个球的表面积和为( )
A. 6π B. 9π C. 31π
4D. 21π
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9.有一组样本甲的数据 i
x，一组样本乙的数据
2 1
i
x
，其中
 
1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
i
x i 为不完全
相等的正数，则下列说法正确的是( )
A. 样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C. 若样本甲的中位数是 m，则样本乙的中位数是 2 1m
D. 若样本甲的平均数是 n，则样本乙的平均数是 2 1n+
10.已知
 
1 1
,A x y ，
 
2 2
,B x y 是圆 O：2 2 1x y 上两点，则下列结论正确的是( )
A．若 1AB ，则
3
AOB
 
{#{QQABKYQUggAAQAJAAQgCUwWCCgOQkBCCAAoOgBAMoAABABFABAA=}#}
高二数学学科 试题 第 3页(共 6 页)
B．若点 O到直线 AB 的距离为 1
2，则 3
2
AB
C．若 2
AOB
，则 1 1 2 2
1 1x y x y   的最大值为 2 2
D．若 2
AOB
，则 1 1 2 2
1 1x y x y   的最大值为 4
11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为 ，，，，，乙盒中有五个相同的小球，标号为
，，，，现从甲、乙两盒中分别随机抽取 个小球，记事件 “抽取的两个小球标号相
同”，事件 “抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件 “抽取的两个小球标号之和大于
”，则( )
A. 事件 与事件 是互斥事件 B. 事件 与事件 是对立事件
C.  D. 
12.如图，在正四棱柱 1 1 1 1
ABCD A B C D中， 3AB ，12 6AA ，P是该正四棱柱表面或内部一
点，直线 ,PB PC 与底面 ABCD 所成的角分别记为 ,
 
( 0, 0)
 
，且 sin 2sin
 
，记
动点
P
的轨迹与棱 CC1的交点为
Q
，则下列说法正确的是( )
A．
Q
为CC1中点
B．线段
1
PA
长度的最小值为 5
C．存在一点
P
，使得
//PQ
平面
1 1
AB D
D． 若
P
在 正 四 棱 柱
1 1 1 1
ABCD A B C D
表 面 ， 则 点
P
的 轨 迹 长 度 为
4 3 3
6
非选择题部分
、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.过点
 
2, 1且方向向量为
 
1, 2 的直线的方程为 ．
14.已知
，，且 ，则

的最小值为 ．
15.某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组
织2位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 2位同学，
且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为________．
16.已知单位空间向量
，
，
满足

，




若空间向量
满足

  
，且对于任意实数 ，

 
的最小值是 ，则

 的最小值是 ．
三
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