浙江省杭州市西湖高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学答案和解析

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杭州市西湖高级中学 2023 年3月学业水平测试高一数学答案
一．单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
B
A
C
A
二．多选题
9
10
11
12
AB
BCD
BCD
BC
三．填空题
13. 5√2
14．
3
5
15.
2
3
16.
四．解答题
17．如图，在平行四边形
ABCD
中，
4AB =
，
2AD =
，
60BAD
=
，
E
，
F
分别为
AB
，
BC
上的点，且
2AE EB=
，
2=CF FB
．
（1）若
DE xAB yAD=+
，求 x，y的值；
（2）求
AB DE
的值；
【答案】（1）
2,1
3
xy= = −
；（ 2）
20
3
；
【解析】（1）
2
3
DE AE AD AB AD= − = −
2,1
3
xy= = −
（2）
AB DE
=
2
22
()
33
AB AB AD AB AB AD − = − 
2
2 1 20
4 4 2
3 2 3
= −   =
18. 已知
4a=
，
3b=
，
( ) ( )
2 3 2 61a b a b− + =
．
（1）求
ab
的值；
（2）若
a
在
b
方向上的投影向量为
c
，求
( )
c a b+
的值．
19．已知在△𝐴𝐵𝐶中，
6
cos 3
A=
，
,,abc
分别是角
,,A B C
所对的边.
（1）求
tan2A
；
（2）若
22
sin 23
B

+=


，
22c=
，求△𝐴𝐵𝐶的面积.
【答案】（1）
22
；（ 2）
22
3
.
【解析】（1）因为
6
cos 3
A=
且
23
(0, ),sin 1 cos 3
A A A
= − =
，
∴
sin 2
tan cos 2
A
AA
==
∴
2
2tan
tan2 2 2
1 tan
A
AA
==
−
（2）由
22
sin 23
B

+=


，得
cos 22
3
B=
，
由
(0, )B
，所以
21
sin 1 cos 3
BB= − =
，
则
6
sin sin( ) sin cos cos sin 3
C A B A B A B= + = + =
，
由正弦定理，得
sin 2
sin
cA
aC
==
，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积为
1 2 2
sin
23
S ac B==
.
20 已知函数
( )
22
sin cos 2 3sin cosx x xx xf = − +
．
(1)求
( )
fx
的最小正周期及单调递增区间；
(2)求
( )
fx
在
π3π
,
44

−


上最大值和最小值，并求出取得最值时 x的值．
【答案】(1)最小正周期为
π
，单调递增区间是
π π
π,π
63
kk

− + +


，
kZ
(2)
( )
fx
的最小值为
2−
，此时
π
6
x=−
；
( )
fx
的最大值为 2，此时
π
3
x=
．
【详解】（1）因为
( )
22 π
sin cos 2 3sin cos 3sin 2 cos2 2sin 2 6
f x x x x x x x x

= − + = − = −


，
所以
( )
fx
的最小正周期
2ππ
2
T==
，
令
π π π
2π22π
2 6 2
k x k− + − +
，
Zk
，
得
π π
π π
63
k x k− +   +
，
Zk
，
所以
( )
fx
的单调递增区间是
π π
π,π
63
kk

− + +


，
Zk
．
（2）由（1）知
( )
π
2sin 2 6
f x x

=−


，因为
π3π
,
44
x
−


，
所以
π2π4π
2,
6 3 3
x
−  −


，所以
 
π
sin 2 1,1
6
x

−  −


，
( )
 
π
2sin 2 2,2
6
f x x

= −  −


，
所以当
π π
262
x− = −
，即
π
6
x=−
时，
( )
fx
取得最小值
2−
；
当
π π
262
x−=
，即
π
3
x=
时，
( )
fx
取得最大值 2．
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