浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期11月期中教学质量检测（一模）数学答案

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1
2023学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测
参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
D
A
B
C
A
A
二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
9．CD 10．BCD 11．ABC 12．BC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．15 14． 15．－2 16．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（1）由题知，A＋C＝180°
，所以 cosA＝－cosC，
根据余弦定理 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC，
即 BD2＝5－4cosA，BD2＝13－12cosC．
所以 5－4cosA＝13－12cosC，所以 cosC＝
．
所以 BD＝．
（2）因为 BD2＝PB2＋PD2－2PB·PDcosA
＝(PB＋PD)2－3PB·PD
≥(PB＋PD)2－3·
＋
＝＋
，
所以(PB＋PD)2≤28，所以 PB＋PD≤2（当且仅当 PB＝PD 时取等号）
所以＜PB＋PD≤．
18．（1）由①得：2a＝b＋1；
由②得： 
＋＝
＋
，（ x＞0）恒成立，
即b＋x2＝bx2＋1恒成立，所以 b＝1，所以 a＝1，
所以 f (x)＝
＋；
（2）因为 f ′(x)＝
＋，所以 f (x)在(0，1)单调递增，(1，＋∞)单调递减．
不妨设 A(t，0)，t∈(0，1)，由 f (x)＝
知B(
，0)．
那么|AB|＝
－t，|AD|＝
；S＝
＋＝－1＋
＋，
因为 t∈(0，1)，所以 0＜S＜1．
19．（1）如图，以点 A为原点，直线 AB 为x轴，直线 AD 为y轴建立坐标系．
那么 P，，
，D(0，b，0)，C(a，a，0)，E，
，
，B(a，0，0)．
{#{QQABRYKQoggIABJAAAhCEwUCCgGQkBGCCCoOhBAAMAABQBFABAA=}#}
2
故
＝，
，
，
＝，，
，
因为

＝，所以

，即．
（2）因为
＝，，，所以

＝，
故，所以 PD⊥平面 ABE，
故平面 ABE 的法向量
＝
＝，，
，
设直线 PC 与平面 ABE 所成角为
，则：
sin
＝|cos<
，
＝＋
＋
＋
＝
，
整理得 ＝，即
1
2
a
b
．
20．（1）设事件 A为挑战者获胜，事件 B为不多于两次答题比赛结束．
P(A | B)＝0.5×0.5＝0.25．
（2）设 P为先答题者获胜的概率，则 P＝0.5×(0.5＋0.5P)，解得 P＝
．
（3）设随机变量 X为挑战者连续挑战 8人时战胜得守擂者人数，P1为此时挑战者获胜的概率；
Y为挑战者连续挑战 9人时战胜得守擂者人数，P2为此时挑战者获胜的概率．
＝
＝
＋
＋
＝
，
＝
＝
＋
＋
＝
．
显然，P1＞P2，即该挑战者胜利的概率没有增加．
21．（1）由＝＝；令＝，得＋＝＋，故＝＋
 ，
＝＋
 ；
因为＋＝＋，其中
，
，
．
所以当时，＋＝＋，
两式相减得：＝，
整理得：

＝
＋
 ，)．
综上，数列是首项为 1，公比为＋
 的等比数列．
（2）由题意得：
＝
＋
 ，，
＝＝＋
 ＝
＋
，＝，故
＝＋
．
当为偶数时，
＋
＋＋＋
＋＝
＋
＋＋

＋
＝
＋
＋＋
＝
＋．
当为奇数时，
＋
＋＋
＋
＝
＋＋＋
＋
＝＋＋
{#{QQABRYKQoggIABJAAAhCEwUCCgGQkBGCCCoOhBAAMAABQBFABAA=}#}
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