浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末考试数学参考答案及评分标准

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2022 学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测

数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合题目要求的.）

1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．A 7．D 8．B

二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.）

9．AC 10．CD 11．BCD 12．ACD

三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.）

13．1

4 14．π 15．√15

5，1

4 16．[0，1

四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本题满分 10 分）

（1）由角



的终边过点

( , )

P

得

sin 5





，

（2）由角 α的终边过点

( , )

P

，得

cos 5





，

由

sin( ) 2





，得

cos( ) 2



  

．

cos cos[( ) ]

   

  

cos( )cos sin( )sin

     

   

，

当

cos( ) 2





时，cosβ

1 3 3 4

()

2 5 2 5

    

3 4 3





；

当

cos( ) 2



  

时，cosβ

1 3 3 4

()

2 5 2 5

     

3 4 3





．

18．（本题满分 12 分）

（1）由 P＝P0e-kt 知，当 t＝0时，P＝P0；当 t＝5时，P＝(1－10%)P0；

即

0.9 k

P Pe



，所以

1ln0.9

k

，

即k

1 9 1

ln (2ln3 ln10) 0.02

5 10 5

     

；

（2）当P＝0．5P0时，即

0.02

0.5 t

P Pe



；

0.02

0.5 t

e



，则

50ln2 34.7t

．

19．（本题满分 12 分）

（1）证明：因为{x1，y1}＝a＝x1e1＋y1e2， {x2，y2}＝b＝x2e1＋y2e2，

{#{QQABYYQQoggAAhAAAQBCEwHwCEKQkhCACCgGwBAQoEAByRNABAA=}#}

所以{x1，y1}＋{x2，y2}＝(x1e1＋y1e2)＋(x2e1＋y2e2)

＝ (x1＋x2)e1＋( y1＋y2) e2

＝{x1＋x2，y1＋y2}

（2）a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2

a∙b＝( e1＋2e2)∙( 2e1＋e2)＝2e12＋2e22＋5e1∙e2＝13

2，

|a|＝|e1＋2e2|＝√7，|b|＝√7，

所以cos < 𝒂

，

𝒃 >

＝

𝒂∙𝒃

|𝒂||𝒃|

＝

14．

20．（本题满分 12 分）

解：(1)证明：在△ACD 中，由正弦定理得 AD·sin D＝AC·sin∠ACD，

因为 AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB，所以 AD·sin D＝AC·sin∠CAB，

在△ABC 中，由正弦定理得，即 AC·sin∠CAB＝BC·sin B，

所以 AD·sin D＝BC·sin B．

又AD·sin D＝2CD·sin B，

所以 BC＝2CD．

（2）（2）在△ABD 中，由正弦定理得 AD·sin∠ADB＝AB·sin∠ABD

=AB·sin60°，

所以 sin∠ABD＝sin60°，

所以∠ABD＝60°或120°，

①当∠ABD＝60°时，则∠BDC=60°，

在△BCD 中，由余弦定理得，BD2－BD－3＝0,解得𝐵𝐷 =1+√13

2，

此时四边形 ABCD 的面积 S＝1

2(AB+CD) ×BD×sin60°=√39+√3

2，

②当∠ABD＝120°时，则∠BDC＝120°，

在△BCD 中，由余弦定理得，BD2＋BD－3=0，解得𝐵𝐷 =−1+√13

2，

此时四边形 ABCD 的面积 S＝1

2(AB+CD) ×BD×sin120°＝√39−√3

2．

21．（本题满分 12 分）

解．（1）在长方体中，

1 1 1 1 10cmLA AE IC C H FB BG     

∴

45LEA C IH 

   

，∴

∥

，

又∵

LE IHG平面

，

LE LEF平面

∴

∥

IHG平面

；

又∵

LE LEF平面

，

=LEF GHI l平面平面

，∴

∥

；

又∵

1 1 1 1

LE ABC D平面

，∴

∥

1 1 1 1

ABC D平面

，

又∵

1 1 1 1

l ABC D平面

，∴

∥平面

ABCD

；

（2）方案 1中，绳长为

+ + =（30 20 10）2 120cm

；

方案 2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由

到

F

的折线，

如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为

FF

长度，

第20 题图

{#{QQABYYQQoggAAhAAAQBCEwHwCEKQkhCACCgGwBAQoEAByRNABAA=}#}

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