浙江省杭州市2022-2023学年高三下学期二模数学试题答案

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2022学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测

参考答案

一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．

9．CD 10．BD 11．ACD 12．AD

三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．

13．70 14．0 15．2 16．－ln2

四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．

17．（ 1）因为 

＝

＝

，

所以 cos

＝0，即 2cos2



－1＝0，

解得 cos

＝

或cos

＝－1，

因为 0＜B＜π，所以 0＜



，则 cos

＞0，故 

＝

，

则 

＝

，故 B＝

． ………………5分

（2）令 c＝5m（m＞0），则 a＝3m，

由三角形面积公式，得 

acsinB＝

b×

 ，

所以 b＝7m2，

由余弦定理可，得 b2＝a2＋c2－2accosB，

则 49m4＝49m2，解得 m＝1，

从而 a＝3，b＝7，c＝5，

故󰒮ABC 的周长为 a＋b＋c＝15． ………………5分

18．（1）由题意，知

1 1 1

5 10 20

( 2 ) ( )( 4 )

,











a + d

a + d a +d a + d

，解得 a1＝0，d＝2．

所以 an＝2n－2． ………………4分

（2）因为 bn＋bn＋1＝2n－1 ①

所以 b1＋b2＝1，又因为 b1＝1，所以 b2＝0．

当n≥2时，bn－1＋bn＝2n－2 ②

①－②，得 bn＋1－bn－1＝2n－2，即 bn－bn－2＝2n－3（n≥3）．

所以 b2n－b2n－2＝22n－3，b2n－2－b2n－4＝22n－5，……，b4－b2＝21，

累加，得 b2n－b2＝

 （n≥2），

所以 b2n＝

  （n≥1），

所以数列{ b2n}的前 n和为 b2＋b4＋…＋b2n＝

2 2 2

9 3 9

  

．………………8分

19．（ 1）证明：设 AC 的中点为 E，连结 SE，BE，

因为 AB＝BC，所以 BE⊥AC，

在󰒮SCB 和󰒮SAB 中，∠SAB＝∠SCB＝90°

，AB＝BC．

所以 󰒮SCB≌󰒮SAB，所以 SA＝SC．

所以 SE⊥AC，

所以 AC⊥平面 SBE，

因为 SB平面 SBE，

所以 AC⊥SB． ………………5分

（2）过 S作SD⊥平面 ABC，垂足为 D，连接 AD，

CD，

所以 SD⊥AB，

因为 AB⊥SA，所以 AB⊥平面 SAD，

所以 AB⊥AD，同理，BC⊥CD．

所以四边形 ABCD 是边长为 2的正方形．

建立如图所示的空间直角坐标系 D—xyz，则

A(2，0，0)，B(2，2，0)， C(0，2，0)，S(0，0，2)，

所以





＝(0，2，－2)，





＝(－2，2，0)，





＝(－2，0，0)，

设平面 SAC 的法向量 n1＝(x1，y1，z1)，则







＝＝，







＝＝，取 x1＝1，y1＝1，z1＝1，

所以 n1＝(1，1，1) ．

同理可得平面 SBC 的法向量 n2＝(0，1，1)．

设平面 SAC 与平面 SBC 夹角为 θ，

所以 cosθ＝|cos< n1，n2>|＝

＝

，

所以平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值为

．………………7分

20．（1）当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条

件，不再赌了，因此输光的概率. ………………3分

（2）记赌徒有元最后输光的事件，赌徒有元下一场赢的事件







即



，

所以，

所以是一个等差数列．

设

   

1  P n P n d

，则

   

12   P n P n d

，……，

   

10P P d

，

累加得

   

0P n P nd

，故

   

0P B P Bd

，得

dB

．

………………6分

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