2023年浙江省嘉兴市普通高中教师学科（专业）素养测试数学试卷（2023.8）答案

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数学 参考答案 第 1页（共 8页）
嘉兴市普通高中教师学科（专业）素养测试
数学答案 （2023.8）
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．B 2．A 3．A 4．C
5．B 6．D 7．D 8．D
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．ABD 10．ABD 11．BD 12．AC
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．5 14．4 15．2 16．2
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10 分）
如图，已知四边形
ABCD
是 矩 形 ，
PA
面
ABCD
，
2PAAB
，
3BC
， 点
NM，
分 别 在 线 段
CDPB，
上，且满足
．
（1）是否存在实数
t
，使得直线
MN
同时垂直直线
PB
和
直线
DC
；
（2）若
1t
，求直线
MN
与平面
PCD
所成角的正弦值．
解：（1）因为
PA
面
ABCD
，所以
PA
AD
，
又因为
AB
AD
，所以
AD
面
PAB
， ………2分
又
//CD
AB
，所以直线
AD
同时垂直直线
PB
和直线
DC
，
A
B
C
D
N
P
第17 题图
M
{#{QQABAQKQggAoQBAAAAhCUQHyCAGQkAGACIoGRBAMoAABQQFABAA=}#}
数学 参考答案 第 2页（共 8页）
显然直线
MN
与直线
AD
不平行，
所以不存在实数
t
，使得直线
MN
同时垂直直线
PB
和直线
DC
； ………4分
（2）如图建立空间直角坐标系，
则
)1,0,1(M
，
)0,3,1(N
，
)1,3,0( MN
， ………6分
)0,0,2(DC
,
)2,3,0( DP
,
则平面
PCD
的法向量
)3,2,0(m
， ………8分
所以
130
1303
1310
3
||||
||
sin
mMN
mMN
，
即直线
MN
与平面
PCD
所成角的正弦值为
130
1303
． ………10 分
18．（本题满分 12 分）
已知等差数列
}{ n
a
与正项等比数列
}{ n
b
，满足
3
11 ba
，
424 bba
，
14
63 ab
．
（1）求数列
}{ n
a
和
}{ n
b
的通项公式；
（2）设
为偶数
为奇数
nb
n
aa
c
n
nn
n
,
,
4
2
，求数列
}{ n
c
的前
n
项和
n
T
．
解：（1）设等差数列
}{ n
a
的公差为
d
，正项等比数列
}{ n
b
的公比为
q
，
则由已知得
14)53(3
33)33(
2
3
dq
qqd
，所以
3
2
q
d
………2分
所以
n
nn bna 3,12
.………4分
（2）
为偶数
为奇数
n
n
nn
c
n
n
,3
,
)52)(12(
4
，即
为偶数
为奇数
n
n
nn
c
n
n
,3
,
52
1
12
1
………6分
当
n
为偶数时，
A
B
C
D
N
P
第17 题图
M
x
y
z
{#{QQABAQKQggAoQBAAAAhCUQHyCAGQkAGACIoGRBAMoAABQQFABAA=}#}
数学 参考答案 第 3页（共 8页）
91
)31(9
)
32
1
12
1
11
1
7
1
7
1
3
1
(
)()( 42131
n
nnn
nn
ccccccT
24
19
32
1
8
3
8
93
)
32
1
3
1
(
22
nn
nn
………9分
当
n
为奇数时，
52
1
12
1
24
19
12
1
8
31
1-
nnn
cTT
n
nnn
24
19
52
1
8
31
n
n
即
为偶数，
为奇数
n
n
n
n
Tn
n
n
24
19
32
1
8
3
,
24
19
52
1
8
3
2
1
． ………12 分
19．（本题满分 12 分）
已知锐角
ABC△
的内角
, ,A B C
的对边分别为
, ,abc
，且满足
Cbab cos2
．
（1）求证：
BC 2
；
（2）求
c
a
B
cos
1
的取值范围．
解：因为
Cbab cos2
，所以
CBAB cossin2sinsin
， ………2分
)sin(cossincossincossin2)sin(sin BCCBBCCBCBB
因为在锐角
ABC△
中，所以
BCB
，即
BC 2
； ………4分
（2）
B
B
BC
A
Bc
a
B2sin
3sin
cos
1
sin
sin
cos
1
cos
1
………6分
BB
BBBB
Bcossin2
sin2coscos2sin
cos
1
B
B
B
B
Bcos2
1cos4
cos2
1cos4
cos
122
B
Bcos2
1
cos2
………8分
因为锐角
ABC△
，所以
4
π
6
π
2
π
3
2
π
20
2
π
0
B
B
B
B
{#{QQABAQKQggAoQBAAAAhCUQHyCAGQkAGACIoGRBAMoAABQQFABAA=}#}
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