2023届浙江省湖州、丽水、衢州三地市高三下学期4月教学质量检测 数学答案

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高三数学参考答案 第 1页 共 7页
湖州、衢州、丽水 2023 年4月三地市高三教学质量检测试卷
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，至少有
两个是符合题目要求的，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．
20
14．
cos 2
y x
(本题为开放题，只要满足图象中点
 
0,1
为其对称中心，
y
轴为其对称轴，且周期为 4的函数都可以)
15．
59
16．
3
74
,
3
74
四､解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
已知数列
 
n
a
满足：
，且对任意的
，
1
1
2
2 2
n
n
n
n
n
an
a
a n
， 是奇数，
， 是偶数.
（1）求
2
a
，
3
a
的值，并证明数列
2 1
2
+3
n
a
 
 
 
是等比数列；
（2）设
12
nn ab
（
），求数列
 
n
b
的前
n
项和
n
T
．
解（1）
1
21
2
a
a 
，
3
3 2
2 2 10a a  
．------------------------------------------------------2 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
C
B
B
C
D
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BC
AC
ABD
高三数学参考答案 第 2页 共 7页
由题意得
2 1 2 1 2 1
2 +1 2 2 1 2 1
2 1
2 8 8 8 2
+ 2 2 4 4
3 3 2 3 3 3
n n n
n n n n
n
a
a a a a
 
   
     
 
   
 
，
又
1
2 8
+ 0
3 3
a 
，所以数列
2 1
2
+3
n
a
 
 
 
是等比数列．---------------------------------------5 分
（若用数列
2 1
2
+3
n
a
 
 
 
前3项说明是公比为 3的等比数列，但没有严格证明的只得 3分）
（2）由（1）知
3
2
4
3
81
12
n
nn ab
．---------------------------------------------------7 分
运用分组求和，可得
 
nT n
n3
2
14
9
8
．-----------------------------------------10 分
18．（本题满分 12 分）
如图，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，底面
ABC
平面
1 1
AA B B
，
ABC
是正三角形，
D
是
棱
BC
上一点，且
3CD DB
，
1 1
A A A B
．
（1）求证：
1 1 1
B C A D
；
（2）若
2AB
且二面角
1 1
A BC B 
的余弦值为
3
5
，
求点
1
A
到侧面
1 1
BB C C
的距离．
解；（1）取
AB
的中点
O
，
1 1
B C
的中点
E
，连接
, , ,AO OD AE DE
．
因为
3CD DB
，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
可得
1 1 1
A E B C
，四边形
1
A ODE
为梯形，且
/ /OD AE
，
1
2
OD AE
．
因为
2OB BD
，且
60OBD o
，所以
OD BC
．------------------------------2 分
因为
1 1
A A A B
，所以
1
A O AB
．
又平面
ABC
平面
1 1
AA B B
，平面
ABC I
平面
1 1
AA B B AB
所以
1
A O
平面
ABC
，所以
1
A O BC
．----------------------------------------4 分
因为
OD BC
，
1
A O BC
，
1
A O OD OI
，
所以
平面
1
A ODE
，所以
1
BC A D
．
高三数学参考答案 第 3页 共 7页
又
1 1 / /B C BC
，所以
1 1 1
B C A D
．--------------------------------------------------6 分
（2）由（1）知
BC
平面
1
A ODE
，所以
BC DE
，又
1
BC A D
，
所以
1
A DE
是二面角
1 1
A BC B 
的平面角．------------------------------9 分
所以
1
3
cos 5
A DE 
．
作
1
A G DE
，由（1）知
1
A G
平面
1 1
BCC B
，设
1
A O h
，则
2
11A A h 
，在
1
A DE
中，
2
1
3
4
A D h 
，在平行四边形
1 1
BCC B
中，
23
4
ED h 
，又
13A E
在等腰三角形
中，解得
3h
，
所以
1
2 15
5
A G
．---------------------------------------------------------------------------12 分
19．（本题满分 12 分）
在锐角
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，满足
2 2
2
sin sin sin
1
sin sin
A A C
C B
 
，且
A C
．
（1）求证：
2B C
；
（2）已知
BD
是
ABC
的平分线，若
4a
，求线段
BD
长度的取值范围．
解：（1）由题意得
2 2
2
sin sin sin sin
sin sin
A C A C
C B
 
,
即
2
1 sin sin
sin sin
A C
C B
．
由正弦定理得
2 2
b c ac 
，--------------------------------------------------------------2 分
又由余弦定理得
2 2 2 2 cosb a c ac B  
，---------------------------------------------4 分
所以
2 cosc a c B 
，故
sin sin 2 sin cosC A C B 
，
故
sin sin( ) 2 sin cosC B C C B  
，整理得
sin sin( )C B C 
，
又
ABC
为锐角三角形，所以
C B C 
，因此
2B C
．------------------------------6 分
（2）在
BCD
中，由正弦定理得
4
sin sin
BD
BDC C
，
所以
4
sin sin
BD
BDC C
．-------------------------------------------------------------------8 分
所以
4 sin 4 sin 4 sin 2
sin sin 2 sin 2 cos
C C C
BD BDC C C C
  
，
因为
ABC
为锐角三角形，且
2B C
，
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