浙江省名校协作体2023-2024学年高三上学期开学适应性考试 数学答案和解析

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2023学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题
高三年级数学学科解析
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的
1.已知集合
 
25 6 0A x x x= − − 
，
 
2022 2022
x
Bx=
，则
AB=
A．
1,1
2



B．
1,6
2



C．
1
1, 2

−


D．
1,3
2



命题意图：本题为原创题，本题考查集合的交运算、一元二次不等式、指数不等
式的解法，意在考查学生对基本概念的掌握情况．
解析：
，
1,
2
B
= +


，
1,6
2
AB
=

，故选
B
．
答案：B
2.设复数
z
满足
(1 ) 4i z i− = −
，
i
为虚数单位，则
z
在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
命题意图：本题为原创题，本题考查复数的四则运算和几何意义，意在考查学生
的计算能力．
解析：
4 (1 )
4 4 4 22
1 (1 )(1 ) 2
ii
ii
zi
i i i
−+
−−
= = = = −
− − +
，故
z
在复平面上对应的点为
( )
2, 2−
，在
第四象限，故选
D
．
答案：D
3．在
ABC
中，点
M
，
N
分别是
BC
，
AC
边上的中点，线段
AM
，
BN
交于点
D，则
||
||
AM
AD
的值为
A.
2
1
B．
5
2
C．
3
2
D．
4
3
命题意图：本题为原创题，本题考查用向量方法解决平面几何问题，考查学生的
化归与转化思想．
解析：
方法一：可由三角形重心的性质知：
| | 2
| | 3
AD
AM =
方法二：设
AD AM
=
uuur uuur
，则
11
()
2 2 2
AD AM AB AC AB AN
 
= = + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
，由
,,B D N
共线
可知，
1+1
2

=
，
2
3
=
，故
| | 2
| | 3
AD
AM =
，故选 C．
答案：
C
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}
4.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分
别为
20cm
和
10cm
，侧棱长为
56cm
．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这
叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装
3
(1000 1 )cm L=
A．
1.5L
B．
1.7L
C．
2.3L
D．
2.7L
命题意图：本题为改编题本题考查棱台的体积公式，意在考查学生的数
学抽象和计算能力．
解析：棱台的高
( ) ( )
22
5 6 5 2 10h= − =
，
33
11
( ) (400 100 200) 10 2.3 10 2.3
33
V S S SS h cm L

= + + = + +   =
．
答案：
C
5. 已知数列
 
n
a
的前 n项和为
n
S
．若
:p
数列
 
n
a
是 等 比 数 列 ；
2
1 1 2 2
: ( ) ( )
n n n
q S a S S S
++
− = −
，则
p
是
q
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
命题意图：本题为原创题，本题在数列的背景下考查常用逻辑用语，考查学生的
逻辑推理能力和对基本概念的掌握．
解析：若
 
n
a
是等比数列，则
2 3 1 1 2
()
nn
a a a q a a a
+
+ + + = + + +
，
3 4 2 2 3 1
()
nn
a a a q a a a
++
+ + + = + + +
，于是
2
2 3 1 3 4 2 1 2
( ) ( )( )
n n n
a a a a a a a a a
++
+ + + = + + + + + +
，即
2
1 1 2 2
: ( ) ( )
n n n
q S a S S S
++
− = −
；若
2
1 1 2 2
( ) ( )
n n n
S a S S S
++
− = −
，取
*
0,
n
an=Ν
，显然
 
n
a
不
是等比数列，故
p
是
q
的充分不必要条件．
答案：A
6.某校银杏大道上共有 20 盏路灯，为了节约用电，学校打算关掉 3盏路灯，头
尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的
方案种数是
A．324 B．364 C.560 D．680
命题意图：本题是原创题，本题主要考查了插空法，考查学生建立模型的能力，
旨在考查学生的分析问题、解决问题的能力.
解析：关掉的三盏路灯不相邻，故选择用插空法，首先拿出两盏亮的路灯备用，
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}
把 15盏亮的路灯先放好，把三盏关掉的等插进去，因为头尾两盏路灯不能关闭，
所以是除头尾之外的 14 个位置上插入三盏关掉的灯，共
3
14 364C=
种，再在每两盏
关掉的路灯之间再各放入一盏备用的路灯，这样就保证了关掉的相邻两盏路灯之
间至少有两盏亮的路灯，故选 B.
答案 B.
7.已知函数
( ) sin( )( 0)
3
f x x

= + 
在
( , )
3
上恰有 1个零点，则
的取值范围是
A．
2 5 8
(0, ) [ , ]
3 3 3
B．
2 5 8
( , ] [2, ]
3 3 3
C．
5 8 11
[ , 2) [ , ]
3 3 3
D．
8 11
(0, 2] [ , ]
33
命题意图：该题是原创题，本题主要考查了复合函数零点问题、三角函数的性质，
旨在考查学生转化化归思想，考查学生的分析问题、解决问题的能力.
解析：令
( , )
3 3 3 3
tx
 
 
= +  + +
，因为函数
( ) sin( )( 0)
3
f x x

= + 
在
( , )
3
上
恰有 1个零点，即转化为
sinyt=
，
( , )
3 3 3
t
 
 
 + +
只有 1个零点，故可得
33
3
kk
kk

 
  
−  +
+  +
，即
3 4 3 1
12
33
kk
kk
−  −
−  +
，又
0
，要使上述方程组有解，则需
131
3
2
34 3
20
3
3 1 0
kk
kk
k
k
−  −
−  +
+
−
，所以
17
33
k
，故
1, 2k=
，当
1k=
时，
25
33

，当
2k=
时，
8
23

，
故选 B；
答案：B
8.在三棱锥
D ABC−
中，
2AB BC==
，
90ADC=
，二面角
D AC B−−
的平面角为
30
，则三棱锥
D ABC−
外接球表面积的最小值为
A．
)132(16 −
B．
)332(16 −
C．
)132(16 +
D．
)332(16 +
命题意图：该题是原创题，本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最
值问题，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力，考查学生的推理运算能力.
解析：如图,先作出△ACD 的外接圆，当 D在△ACD 的外接圆上动的时候，该三
棱锥的外接球不变，故可使 D点动到一个使得 DA=DC 的位置，取 AC 的中点 M，
因为
2AB BC==
，DA=DC ， 所 以
AC BM⊥
,
AC DM⊥
,故
DMB
即为二 面 角
{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}
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