浙江省余姚中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测试卷 数学参考答案

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余姚中学 2023 学年高一年级第一次月考答案和评分标准
一.单选题 5分/题，多选题全对 5分/题，选错 0分/题，选对一部分 2分/题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
B
A
C
B
D
AC
ACD
BC
BCD
8.D
令
1
( ) 0f x k
x
− = 
，则
( ) 2fk=
则
11
( ) ( ) 2 1f k k f k k k
kk
− = = + =  =
所以
12. BCD
11
( ) 2 2 2 4

+ = + + = + +  + =


a b a b
a b a b a b b a b a
，
2ab==
时取等号，A错误；
21
12
4 1 1
( )(2 2 2)
2 2 2 8
1 2 2 4( 2) 9
(4 1 )
8 2 2 2 8
ab
ab
ab
ab
ba
+
++
= + + + +
++
++
= + + +
++
；
（当且仅当
2 2 2 4ab+ = +
，即
5
3
2
3
a
b
=
=
时取等号），B正确
对于 C，令
2 2, 2 2+ = + = a m b n
，则
8mn+=
，∴
2 2 2
( 2)
22
−
+ = +
++
a b m
a b m
2
2
( 2) 4 4 4 4 32 32
82
2
−= + + + − = + = =
+



nmn
n m n m n mn mn
（当且仅当
4mn==
时取
等号），即
22
22
+
++
ab
ab
的最小值是 2．C正确．
对于 D，由题可得
1ba=−
，
( )
0,1a
，
∴
( )
2
2 2 2 2
2 2 1 1
11
1
a b a a a
a b a b a a a a
aa
−+
+ = + =
+ + + − − +
+−
，
而
( )
21133 2 3 3
11
aa a
aa
−+= + + −  −
++
，当且仅当
1
3
1aa
+= +
，即
31a
时取等
号，
∴
2 2 2
2 1 1 2 3 3
13
2 3 3
a b a
a b a b a a
++
+ = =
+ + − + −
，即
22
2ab
a b a b
+
++
的最大值是
3 2 3
3
+
，故 D正确.
二．填空题
13.
[ 1, )− +
或
( 1, )− +
14.
5 11
[ , ]
35
15.
2b=
或
1b=
(写出一个既可)
16.
6a
或
( ,6)−
若对任意
1[0,1]x
，任意
2[0,1]x
，都有不等式
12
( ) ( )f x g x
成立，
则只需满足
min max
( ) ( )f x g x
，
[0,1].x
22
( ) 8g x x x a= − + −
，其图象的对称轴为直线
1
2
x=
，
则
()gx
在
1
[0, )
2
上单调递减，在
1
( ,1]
2
上单调递增，
2
max
( ) (0) (1) 8.g x g g a = = = −
22
( ) 2 4f x x ax a= − + −
，其图象的对称轴为直线
4
a
x=
，
①当
0
4
a
，即
0a
时，
()fx
在
[0,1]
上单调递增，
22
min max
( ) (0) 4 ( ) 8f x f a g x a= = − = −
恒成立;
②当
01
4
a

，即
04a
时，
()fx
在
[0, )
4
a
上单调递减，在
( , 1]
4
a
上单调递增，
2
min
7
( ) ( ) 4
48
a
f x f a= = −
，
2
max
( ) 8g x a=−
，
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