浙江省宁波市2020年12月高中数学竞赛 PDF版含解析

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2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第1页（共 4页）
2020 年 宁 波 市 高中数学竞赛试题
2020 年12 月13 日 9:00-11:00
注意： 报考 A 组的考生作答 A卷（所有试题），报考 B组的考生作答 B卷（前 17 题）．
请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题Ⅰ（本题共 4小题，每小题 6分，共 24 分．每小题列出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．已知平面向量
,ab
满足
| | 1=a
，
| | 2=b
，且
| | 7+=ab
，则
||−ab
等于
A．
1
B．
2
C．
D．
2
2．已知
π4
sin( ) sin 3
35

+ + = −
，则
2π
cos( )
3
+
等于
A．
4
5
−
B．
3
5
−
C．
3
5
D．
4
5
3．已知非负实数
,ab
满足
41ab+=
，则
11
11ab
+
++
的最小值是
A．
3
2
B．
5
4
C．
3
4
D．
1
2
4．在直角△
ABC
中，
C
为直角顶点，分别以
AB
边上的高
CD
、中线
CE
、角
C
的内角平
分线
CF
为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体
,,ABCD ABCE
ABCF
的
体积分别为
1 2 3
,,V V V
，则
A．
1 2 3
V V V
B．
3 2 1
V V V
C．
2 3 1
V V V
D．
3 1 2
V V V
二、选择题Ⅱ（本题共 4小题，每小题 8分，共 32 分．每小题列出的四个选项
中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得 8分，选对但不全的得 4分，不
选、有选错的得 0分．）
5．已知数列
 
n
a
是公差不为
0
的等差数列，
n
S
为其前
n
项和．若对任意的
*nN
，都有
3n
SS
，则
A．
30a
B．
40a
C．
30S
D．
40S
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第2页（共 4页）
6．已知
,,A B C
为△
ABC
的三个内角，
222
sin sin sin 2A B C+ + =
，则
A．△
ABC
为锐角三角形
B．△
ABC
为直角三角形
C．
cos 2cos 3cosA B C++
的最大值为
5
D．
cos 2cos 3cosA B C++
的最大值为
13
7．某次考试共有
3
道题，每题的得分均可能为
0
分、
1
分、
2
分、或
3
分，若共有
15
名学生
参加考试，则存在两名学生甲、乙
A．前两题的得分均相同
B．三道题的得分之和相同
C．三道题的得分之积相同
D．对每道题，甲的得分均不低于乙的得分
8．存在正实数
,xy
，使得
A．
11
y
x y x
=+
+
B．
x y x y+ = +
C．
2 2 2
x y x y
+=+
D．
lg( ) lg 10x y x y+ = +
三、填空题（本题共 6小题，每小题 8分，共 48 分．请把答案写在答卷相应位
置上．）
9．
lg5 0 lg2
5
2 (log 2) 5+−
的值为 ▲ ．
10．设奇函数
()fx
是定义在
R
上的减函数，若实数
,ab
满足
( 1) 0,
( ) ( 1) 0,
1,
f a b
f a f b
b
− −
+ − 
则点
( , )ab
所形成的平面区域的面积
为 ▲ ．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点
(0,0), (6,2),OA
(4,6), (2,6)BC
，若直线
y mx=
平分四边形
OABC
的面
积，则实数
m
的值为 ▲ ．
12．已知数列
 
n
a
的前
n
项和
n
S
满足
11
nn
Sa
+=+
( *)nN
，则
2021
a
的值为 ▲ ．
13．已知直线
yx=
与椭圆
C
：
22
1
43
xy
+=
交于
,MN
两点，直线
1yx= − +
与椭圆
C
交于
,PQ
两点，已知四点
, , ,M N P Q
共圆，则该圆的圆心坐标为 ▲ ．
14．已知正方体的
8
个顶点分别在空间
8
个平行的平面上，若相邻的两个平行平面的距离均
为
1
，则该正方体的边长等于 ▲ ．
x
y
C
B
A
O
（第11 题图）
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第3页（共 4页）
四、解答题Ⅰ（本题共 3小题，第 15、16 题每题 15 分，第 17 题16 分，共 46
分．）
15．已知
0a
，曲线
1
：
3
4logyx=
与
x
轴相交于点
A
，曲线
2
：
()y f x=
与
1
关于
点
(0, )Ba
中心对称，且与
x
轴交于点
P
．
（Ⅰ）求点
A
的坐标；
（Ⅱ）若△
ABP
为直角三角形，求
3
log aa
的值．
16．已知正项等比数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且满足
34a=
，
2 4 3
35a a S=−
．
（Ⅰ）求
 
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）设命题
p
：存在正整数
,mn
（其中
mn
）及
{ 1,0,1}, 1,2, ,
 − =
kkn
，使得
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1m m m m m m n n n n n
a a a a a a a a
 
+ + + + − − +
+ + + = + + + + +
．判断
命题
p
的真假并证明你的结论．
17．设抛物线
C
：
2
yx=
与
(1,2)P
，
Q
为不在抛物线上的一点．若过点
Q
的直线
l
与抛物
线
C
交于
,AB
两点，直线
PA
与抛物线
C
交于另一点
M
，直线
PB
与抛物线
C
交于另
一点
N
，直线
MB
与
NA
交于点
R
．
（Ⅰ）已知点
A
的坐标为
(9,3)
，求点
M
的坐标；
（Ⅱ）是否存在点
Q
，使得对动直线
l
，点
R
是定点？若存在，求出所有点
Q
组成的集
合；若不存在，请说明理由．
x
y
R
N
M
B
P
O
Q
A
（第17 题图）

标签： #数学竞赛

摘要：

2020年宁波市高中数学竞赛试题第1页（共4页）2020年宁波市高中数学竞赛试题2020年12月13日9:00-11:00注意：报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前17题）．请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．已知平面向量满足，，且，则等于A．B．C．D．2．已知，则等于A．B．C．D．3．已知非负实数满足，则的最小值是A．B．C．D．4．在直角△中，为直角顶点，分别以边上的高、中线、角的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，...

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