新疆乌鲁木齐市第三十一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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第三十一中学 2021-2022 学年第二学期期中试

卷

高二数学（理科）问卷

（卷面分值：150 分；考试时间：100 分钟）

一、选择题（12 5=60 分）

1.从3幅不同的画中选出两幅，分别挂在相对两面墙的指定位置上，则不同的挂法种数为（）

A.1 B.2 C.3 D.6

2.复数

z=(−3−4i)+(2+i)

（是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.下列各式正确的是（）

A. B. C. D.

4.用反证法证明命题“若，则 ”时，正确的反设为（）

A. B. C. D.

5.利用数学归纳法证明“ ”时，在验证成立时，

左边应该是（）.

A. B. C. D.1

6.若随机变量的期望

E(X)=−2

，则（）．

A． B． C． D．3

7.有一段“三段论”推理是这样的：

对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，

因为函数在处的导数值，

所以，是函数的极值点.

以上推理中（）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确

8.掷一枚质地均匀的骰子 12 次，则出现向上一面是 3 的次数的均值和方差分别是（）

A.2 和 B.2 和5 C.4 和 D.

和1

9.下列说法不正确的是（）

A. 若X∽B(n, )，且，则

B. 设有一个回归方程，变量 x增加 1个单位时，y平均减少 5个单位

C. 线性相关系数 r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则

10.对任意的实数，有，则的值为（）

A.2 B.0 C.8 D.1

11.任意地向内投掷一个点，用表示该点坐标，且，，

则= ( ) A. 0 B. C. D. 1

12.丹麦数学家琴生（Jensen）是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹

性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 f（x）在（a，b）上的导函数为，在

（a，b）上的导函数为，若在（a，b）上恒成立，则称函数 f（x）在（a，b）上

为“凹函数”．已知在（0，2）上为“凹函数”，则实数 t的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（5 4=20 分）

13.设离散型随机变量的概率分布列如下：

1 2 3 4

则= .

14.求曲线在点处的切线方程 .

15.若三角形的面积为，三角形的周长为，可得三角形内切圆的半径为 ,利用类比思想：

若四面体的体积为 ,四个面的面积为 ,四面体内切球的半径为；则四面体的内切球

半径 = .

16.由直线，曲线以及轴所围图形的面积是__________.

三、解答题

17.计算（i是虚数单位）

（1）z=(3+4i)(3−4i)

（2）z=(1+i)2

1−i

（3）∫1

xdx

（4）∫−1

3(3x2−2x+1)dx

18.

(1)求函数 f(x)= 1

3x3−4x+4在[0,3 ]上的最大值和最小值.

(2)判断函数 f(x)=sin x+2x在（ 0，π）上的单调性.

19.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选修课程的一些学生的情况，具体数据如下表：

非统计专业统计专业合计

男生13 10

女生7 20

合计

（1）完成表格；（2）为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据独立性检验，有人断定“主

修统计专业与性别有关系”，试问这种判断出错的概率是多少?

参考数据：

0.1 0.05 0.01 0.001

2.706 3.841 6.635 10.828

20.从名男同学中选出人，名女同学中选出人，并将选出的人排成一排．

（1）共有多少种不同的排法？

（2）若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？

21.一个袋中装有大小相同的 8个小球，其中 5个红球，3个黑球..现从中随机摸出 3个球.

(1)求至少摸到 1个红球的概率；

(2)求摸到红球的个数 ξ的概率分布及数学期望.

22. 在与时取得极值

（1）求及单调区间

（2）恒成立，求的取值范围.

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