陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高三上学期第三次教学质量检测（期中）理数答案

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理科数学参考答案 第 1页
长安一中 2021 级高三第三次教学质量检测
数学（理科）答案
时间：120 分钟 总分：150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
B
C
C
A
B
D
C
D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．
4
5
14．
1
2
15． 16．

三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
【解析】
（1）因为
1
cos 3
C
，
 
0,C
，所以
2 2
sin 3
C
．
因为
πA B C 
，
所以
 
sin sinA B C 
，…………2 分
由题意
1 2 2
sin cos 2 cos
3 3
B B B 
，所以
1 2
sin cos
3 3
B B
，
所以
tan 2B
．……………………………………………………………………3 分
（2）由（1）知
tan 2B
，所以
6
sin 3
B
，
3
cos 3
B
．…………………………4 分
由正弦定理得
sin sin
b c
B C
，所以
6 5 15
3 2
2 2
3
b 
…………………………6 分
又
6
sin 2 cos 3
A B 
， ……………………………………………………………8 分
所以
1 1 15 6 5 2
sin 5
2 2 2 3 4
S bc A  
．………………………………………10 分
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
理科数学参考答案 第 2页
18.【解析】
【详解】（1）连接
,AE DE
，因为 E 为 BC 中点，
DB DC
，所以
DE BC
①，
因为
DA DB DC 
，
60ADB ADC  
，所以
ACD
与
ABD△
均为等边三角形，
AC AB 
，从而
AE BC
②，由①②，
AE DE E
，
,AE DE
平面
ADE
，
所以，
BC
平面
ADE
，而
AD
平面
ADE
，所以
BC DA
．
（2）不妨设
2DA DB DC 
，
BD CD
，
2 2, 2BC DE AE 
．
2 2 2
4AE DE AD  
，
AE DE 
，又
,AE BC DE BC E  
，
,DE BC
平面
BCD
AE 
平面
BCD
．
以点
E
为原点，
, ,ED EB EA
所在直线分别为
, ,x y z
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设
( 2,0,0), (0, 0, 2), (0, 2, 0), (0,0,0)D A B E
，
设平面
DAB
与平面
ABF
的一个法向量分别为
 
1 1 1 1 2 2 2 2
, , , , ,n x y z n x y z 
 
，
二面角
D AB F 
平面角为
,而
 
0, 2, 2AB  
，
因为
 
2,0, 2EF DA  
 
，所以
 
2,0, 2F
，即有
 
2,0,0AF  
，
1 1
1 1
2 2 0
2 2 0
x z
y z
 
 
，取
11x
，所以
1(1,1,1)n
；
2 2
2
2 2 0
2 0
y z
x
 
 
，取
21y
，所以
2(0,1,1)n
，
所以，
1 2
1 2
2 6
cos 3
3 2
n n
n n
 
 
 
，从而
6 3
sin 1 9 3
 
．
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
理科数学参考答案 第 3页
所以二面角
D AB F 
的正弦值为
3
3
．
19．【解析】参考答案：
（1）解：
X
的取值可能为 1，2，3，所以
2
1
2
1 1
( 1) ( ) ;
4
P X C
 
2 2
1 1
2 3
1 1 1
( 2) 1 ( ) ( ) 12
P X C C
 
 
 
 
；
2 2
1 1
2 3
1 1 2
( 3) 1 ( ) 1 ( ) 3
P X C C
 
 
 
 
 
 
，
所以
X
的分布列为：
所以数学期望为：
1 1 2 3 2 24 29
( ) 1 2 3
4 12 3 12 12
E X  
 
；
（2）解：令
1
i
i
xt
，则
ˆ
ˆ ˆ
y bx a 
，由题知：
5
1
315, 90
i i
i
x y y
 
，所以
5
1
5
2 2
1
5315 5 0.46 90 108
ˆ270
1.46 5 0.212 0.4
5
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
   
 
 
，
所以
ˆ90 270 0.46 34.2a  
，
ˆ270 34.2y x 
，
故所求的回归方程为：
270
ˆ34.2yt
 
，
所以估计
6t
时，
11y
；估计
7t
时，
4y
，估计
8t
时，
0y
；
预测成功的人的总人数为
450 11 4 465  
.
20．
【解析】解：（1）由题意可知
a
2＝
b
2＋
c
2，
1
a
2
＋9
4
b
2
＝1，
bc
＝ 3，
解得
a
＝2，
b
＝ 3，
c
＝1，
椭圆
E
的方程为
x
2
4＋
y
2
3＝1.(4 分)
（2）易知直线
AB
的斜率不为 0.由(1)得
F
2(1，0)，故可设直线
AB
的方程为
x
＝
ty
＋1，
X
1
2
3
P
1
4
1
12
2
3
{#{QQABJQaAogiIABAAABhCEQWoCkIQkBGAAAoGhBAIsAAAwBFABAA=}#}
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