陕西省汉中市2023届高三下学期第二次质量检测考试理科数学参考答案（定稿）

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汉中市 2023 届高三年级教学质量第二次检测考试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B D A D D C C B A D
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 14. 1 15. -640 16. 16
三、解答题：共 70 分.第 17～21 题是必考题，第 22、23 题是选考题，考生根据情况作答.
（一）必考题：每小题 12 分，共 60 分.
17. 解：(1)由小矩形面积和等于 1 可得： ，
＝0.035
平均年龄
····2 分
(2)第 1 组总人数为 200×0.01×10＝20，第 2 组总人数为 200×0.015×10＝30
故用分层抽样后，第 1 组抽取 人，第 2 组抽取 人
再从这 5 人中抽取 3 人，设至少 1 人的年龄在第 1 组中的事件为
A
，其概率为
·········6分
(3)由题意可知
X
服从二项分布
X
～
B
（3， ）
， ，
， .
········10 分
∴
X
的分布列为：
X
0 1 2 3
P
的 数 学 期 望
········12 分
18. 解：（1）连接 ，设 的中点为 ，
∵ ， ， ······2分
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∴ ， 为等边三角形，
∴ ， ，折叠后 ，
， 又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ·······6分
（2）若 ，即 平面 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，令 得 ， ······8
分
又 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量，·······10
分
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
由图观察知，二面角 是钝角，
二面角 的余弦值为 ． ··········12 分
19. 选①作条件 因为 ，数列奇数项确定，但 未知，故数列偶数项不
确定，因此数列 不确定，不能选①
选②作条件， ，故 ，则
当 ········2 分
，所以 ········4 分
又因为
对任意正整数， ，所以 是以 1位首项，2为公差的等差数列，
·······6 分
选③作条件
所以 是以 1位首项，2为公差的等差数列， ········3 分
又因为 ， 所以 ·······6 分
（2）由（1）知，等差数列 的通项公式 ，
于是 ， ·····8 分
所以
·······12 分
20. 解：（1）设椭圆 的焦距为 ，则 ，
由题意可得 解得
故 的标准方程为 ········4 分
（2）平行四边形 的面积为定值 ，理由如下：
由（1）可得： ，则有：
当直线 的斜率不存在时，设 ，
若 为平行四边形，则点 为长轴顶点，不妨设 ，
可得 解得
故平行四边形 的面积 ； ·······6 分
当直线 的斜率存在时，设 ，
联立方程 消去 y得 ········7 分
则
可得
∵，
若 为平行四边形，则
点 在椭圆上，则
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