浙江省宁波市北仑中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学

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北仑中学 2022 学年第二学期高二年级期初返校考试数学试卷
（全年级+外高班使用）
命题:高二数学备课组 审题: 高二数学备课组
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若直线 与直线 垂直，则 a的值为
A．-3 B．1 C．3 D．5
2．已知甲、乙两名同学在高三的 6 次数学测试的成绩
统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成
绩），则下列说法不正确的是
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第 25 百分位数大于乙成绩的第 75 百分位
数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
3．已知空间向量 ， ， ，
若 ，则
A．2 B． C．14 D．
4．在平行六面体 中，点 在 上，且 ，若
，则
A． B．1 C． D．
5．若双曲线 的左焦点 关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的
右支上，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
6．若函数 存在极值，则实数 的取值范围是
A．（0，1]
B.（0，1） C.（-∞，1] D.（-∞，1）
7．设 ， 分别为双曲线 ： 的左､右焦点，
为双曲线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于
， 两点，且 ，（如图），则该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
8．已知 ， ， 是函数 （ ， ）的零点，
且 ，若 ，则当 ， 变化时， 的最小值是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．某保险公司为客户定制了 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保
险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保
险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对
个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的
统计图．则以下说法正确的是
A． 周岁以上的参保人数最少
B． 周岁人群参保的总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D． 周岁及以上的参保人数占总参保人数的
10．在棱长为 2 的正方体 中， 、
、 分别为 、 、 的中点，则下列选
项正确的是
A．若点 在平面 内，则必存在实数 ，
使得
B．直线 与 所成角的余弦值为
C．点 到直线 的距离为
D．存在实数 、 使得
11．已知点 为双曲线 右支上一点， ， 为双曲线 的两条渐近线，点 ，
在 上，点 ， 在 上，且 ， ， ， ， 为坐标原点，
记 ， 的面积分别为 ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
12．已知 a为常数，函数 有两个极值点 ，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知事件 ， 相互独立，且 ， ，则 ▲ .
14．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，离心率为 ，点 为
上一点，若 的面积为 7，且 内切圆的半径为 ，则 的标准方程为 ▲
.
15．如图,在四棱台 中, ,
,则 的最小值为 ▲ .
16．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ，
，则 在区间 上的极大值为 ▲ .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，经测量得
到的数据位于[75,125],频率分布直方图如图所示.
(1)补全频率分布直方图；
(2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数
x
及方差 s2；
(3)当一件产品的质量指标值位于(80，122.5)时，认为该产品为合格品，求样本中的产
品为合格品的频率.
18．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线 垂直；②过点 ；③与直线 平行．
问题：已知直线 l过点 ，且__________．
(1)求直线 l的一般式方程；
(2)己知 ，
O
为坐标原点，在直线 l上求点
N
坐标，使得 最大．
19．已知函数 ．
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
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