广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考 数学答案

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东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学
2024 届高三第四次六校联考试题标准答案及评分标准
一、单项选择题 二、多项选择题
1234567891011
A B C C A B A D ABD AB AD
1．A
解： 展开式的通项公式为 ，
则第 项的系数为： ．故选 A．
2．B
解：因为 ， ，
则由等差数列的性质可知 ，
所以 ，公差 ．故选 B．
3．C
解：因为 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ．故选：
4．C
解：
为钝角三角形．
所以在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的充要条件．
5．A
解：
易知外接球球心为∆PAC 外心，故外接球半径 R=
2
2sin π
3
=2❑
√
3
3
，故外接球表面积为
S=4π R2=16 π
3
．
6．B
解：
设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，得
， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
7．A
解：
不妨设内切圆与三边切点分别为 P，Q，R
∴
|AP|=|AR|，|BP|=|BQ|，|
F2
Q|=|
F2
R|
∵
点A在双曲线上
∴
|A
F1
|-|A
|=2a
又
∵
|B
F1
|=2a
∴
|AB|=|A
F2
|
∴
|BP|=|
F2
R|
∴
|BQ|=|
Q F2
|
∵
点B在双曲线上
∴
|B
F2
|-|B
F1
|=2a
∴
|B
F2
|=4a
∴
|
Q F2
|=
1
2
|B
F2
|=2a
设内切圆圆心为 I，连接 IQ、I
F2
，如图所示
∵
tan I∠
F2
Q=
¿IQ∨¿
¿Q F2∨¿=❑
√
3
3¿
¿
∴
Q∠
F2
I=
π
6
即∠B
F2
A=
π
3

∴∆ AB F2
为等边三角形
∴
|A
F1
|=6a，|A
F2
|=4a，|
F1F2
|=2c，∠
F1A F2
=
π
3
在∆A
F1F2
由 余 弦 定 理 得 ：
¿F1F2∨¿2=¿A F1∨¿2+¿A F2∨¿2−2∨A F1∨∙∨A F2∨∙cos ∠F1A F2¿¿¿
即：
4c2=36 a2+16 a2−2 4 a2=28 a2
∴e=c
a=❑
√
2 8
4=❑
√
7
8．D
解：
∵f
(
x
)
=sin 2 xcosx+cos 2 xsinx −sin 2 x=2sinx cos2x+cos 2 xsinx −2sinxcosx
¿sinx
(
2 cos2x+2 cos2x− 1−2cosx
)
=sinx(4 cos2x− 2cosx − 1)
令
f
(
x
)
=0
，则
sinx=0
或
4 cos2x− 2cosx −1=0
即：
sinx=0
或
cosx=1± √ 5
4
由图像可知，函数 共 8个零点
另法：因为
由 ，得 ，或
所以 ，或 ，即 ，或 ，
因为
所以 ，或 共 个零点
9．ABD
解：
对于 ，对于 ，均有唯一确定 ，符合函数定义，故选项 A正确
对于 ，对于 ，均有唯一确定 ，符合函数定义，故选项 B正确
对于 ，取 ， ，不符合函数定义，故选项 C错误
对于 ，对于 ，均有唯一确定 ，符合函数定义，故选项 D正确
10．AB
解：设 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
对于 ， ，A正确；
对于 ， ，所以 ，B正确
对于 ， ，
，
所以 不一定成立，C错误
对于 ， ， ，
而 不一定成立，所以 与 不一定平行，D错误；故选 AB．
11．AD
解：对于 A选项，由
a1=ln x1−b
x1−c =1
得x1−b
x1−c =e， 所以 x1=e ∙ c − b
e −1
，A正确．
∵
二次函数
f
(
x
)
有两个不等式实根 b，c
∴
不妨设
f
(
x
)
=a(x− b)(x − c)
∵f'
(
x
)
=a(2x− b −c)

∴f'
(
xn
)
=a(2xn−b − c)
∴
在横坐标为
xn
的点处的切线方程为：
y − f
(
x
)
=a(2xn− b −c )(x − xn)
令y=0，
则
xn+1=x=a∙ xn
(
2xn− b − c
)
− f (xn)
a(2xn− b− c)=a xn
2− abc
a(2xn−b − c)=xn
2− bc
2xn−b − c ∵xn+1−b
xn+1−c =xn
2− bc− b(2xn− b −c )
xn
2−bc − c(2xn−b − c)=xn
2−2b xn+b2
xn
2−2c xn+c2=(x¿¿n −b)2
(x¿¿n− c)2¿¿
∴ln xn+1−b
xn+1− c =2 ln xn− b
xn−c
即：
an+1=2an
∴{an}
为公比是 2，首项为 1的等比数列．
∴an=2n− 1
故BC 错．
对于 D选项，
由an+1
an
=2n − 1+¿
，故 D正确．
三、填空题：（每小题 5分，共 15 分）
12 13 14
36
[−10
3,70
3]
；
12.36
解：依题意，甲组的中位数必为 5，乙组的中位数必为 6
所以甲组另外四个数，可从 1,2,3,4 和7,8,9,10 这两组数各取 2个，共有
13.
[−10
3,70
3]
解：连接圆心和切点，如图所示：即有
∠APC =∠BPF=θ
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