深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考 数学答案

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深圳实验、湛江一中、珠海一中 2024 届高三三校联考
数学答案及评分标准
一、选择题（每小题 5分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B D A C C
二、多选题（每小题 5分，共 20 分）
题号 9 10 11 12
答案 BC AD AC BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 2 14. 36 15. 1 16.
5
[ ,3]
3
四、解答题：本题共 6小题，第 17 题10 分，18―22 题各 12 分，共
70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （10 分）
解：(1)∵
1 3 5
3 5 (2 1) 2
n
a a a n a n  
，
∴当
2n
时，
1 3 5 1
3 5 (2 3) 2( 1)
n
a a a n a n
 
， ………………………………2 分
两式相减得
(2 1) 2
n
n a 
，即
2
2 1
n
an
(
2n
)，………………………………………3分
当
1n
时，
12a
，符合上式，………………………………………………………………4分
∴
{ }
n
a
的通项公式为
2
2 1
n
an
(
*
nN
)．…………………………………………………5 分
(2)∵
2 1 1
2 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1
n
n
a
bn n n n n
 
 
， ………………………………………7
分
∴
1 1 1 1 1
13 3 5 2 1 2 1
n
Tn n
 
 
， …………………………………………………9 分
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∴
1 2
12 1 2 1
n
n
Tn n
 
 
． …………………………………………………………………10 分
18．（12 分）
解：(1) （方法一）由余弦定理，得
2 2 2
cos 2
b c a
Abc
 
，
又∵
2 cosb c b A 
，∴
2 2 2
2 2
b c a c b
bc b
 
，………………………………………………1分
∴
bcba 22
，………………………………………………………………………………2分
∵
2 2 2 2
cos 2 2 2 2
a c b c bc c b a
Bac ac a b
 
 
，……………………………………………3分
∴
2 2 2
2 2
2 2
2
2cos 1 2 ( ) 1
2 2 2 2
a a b bc b c b
Bb b b b
 
   
，…………………………………4
分
∴
cos cos 2A B
， ……………………………………………………………………………5分
又∵
A
，
B
(0, π)
，∴
2A B
．……………………………………………………………6分
（方法二）由正弦定理，得
B
BC
Asin2
sinsin
cos
，………………………………………1分
∴
BBAC sinsincos2sin
，……………………………………………………………2分
∵
A
，
B
，
C
为△
ABC
的内角，∴
πA B C 
，
∴
BABABAC sincoscossin)sin(sin
，………………………………………3分
∴
BBABA sinsincoscossin
，………………………………………………………4分
即
BBA sin)sin(
，………………………………………………………………………5分
又∵
A
，
B
(0, π)
，∴
2A B
．……………………………………………………………6分
(2) （方法一）由(1)可知
2 2
a b bc 
，……………………………………………………7分
∵
2 3a b
，∴
2 2
3
( )
2
bb bc 
，即
5
4
c b
， ………………………………………………8分
∴
2 2 2
2 2 2
3 5
( ) ( ) 9
2 4
cos 3
2 16
22
b b
b
a b c
Cb
ab b
 
 
 
 
，…………………………………………9分
∵
(0, π)C
，∴
sin 0C
，
25 7
sin 1 cos 16
C C 
，………………………………10 分
记△
ABC
的面积为
S
，
∴
1 1 3 5 7
sin 15 7
2 2 2 16
b
S ab C b  
，………………………………………………11 分
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∴
8b
．……………………………………………………………………………………12 分
（方法二）由正弦定理，得
sin sin
a b
A B
，即
2sin cos sin
a b
B B B
，……………………7分
∵
, (0, π)A B
，∴
sin 0A
，且
sin 0B
，∴
cos 2
a
Bb
，……………………………8分
又∵
2 3a b
，∴
3
cos 4
B
，∴
27
sin 1 cos 4
B B 
，
∴
21
cos cos 2 2cos 1 8
A B B  
，∴
3 7
sin 8
A
，……………………………………9分
∴
5 7
sin sin( ) sin cos cos sin 16
C A B A B A B  
，…………………………………10 分
记△
ABC
的面积为
S
，
∴
1 1 3 5 7
sin 15 7
2 2 2 16
b
S ab C b  
，………………………………………………11 分
∴
8b
．……………………………………………………………………………………12 分
19．（12 分）
解：(1) 证明：如图，取
BD
的中点
O
，连接
OA
，
OC
， ……………………………1 分
∵
AB AD
，∴
BD AO
， ………………………………………………………………2 分
∵△
BCD
为等边三角形，∴
BD CO
， …………………………3 分
又∵
AO CO O
，
,OA OC
平面
AOC
，
∴
BD
平面
AOC
， ……………………………………4 分
又∵
AC
平面
AOC
，
∴
BD AC
. …………………………………………………………………5 分
(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面
AOC
内，若过
C
作直线
AO
的垂线
CQ
交
AO
于点
Q，则该垂线亦为平面
ABD
的垂线，故直线
AC
在平面
ABD
内的射影为直线
AQ
，
∴
QAC
为直线
AC
与平面
ABD
所成的角，即
π
3
QAC 
，
π
3
OAC 
……………6 分
不妨设
2BD
，∵
π
2
BAD 
，
O
为
BD
的中点，∴
1OA OB OD 
，
∵△
BCD
为等边三角形，∴
3OC
，
在△
OAC
中，由正弦定理
sin sin
AO OC
OCA OAC
 
,得
1
sin 2
OCA 
，∴
π
6
OCA 
，
∴
π
2
AOC 
，即
OA OC
，
由(1)知，
OD OC
，且
OD OA
，…………………………………………………………7分
O
C
A
D
B
E
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