四川省成都市列五中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析

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高三数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 一个容量为 10 的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第 75 百
分位数为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.
【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，则取从小到大排列后的第 8个数，
即该组数据的第 75 百分位数为 18.
故选：D.
2. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等差中项的性质结合题意求出 ，再利用公式法求出公差和 ，然后由求和公
式计算即可；
【详解】因为 为等差数列 的前 项和，且 ，
所以 ，解得 ，
又公差 ，所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
3. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】注意到 ，后由 可得答案.
【详解】 .
因 ，则 .
故选：A
4. 直线 被圆 截得的最短弦的弦长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出直线恒过定点，当直线 时，直线 截圆 的弦长最小，再用勾股
定理求出弦长.
【详解】设圆 的圆心为点 ，圆 的标准方程为： ，圆心坐标
为 ，半径 ，
直线 的方程可化为： ，所以直线恒过定点 ，
当直线 时，直线 截圆 的弦长最小，根据勾股定理可知：
弦长的最小值 .
故选：C
5. 已知函数 在 R上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
6. 已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若 ，平面
平面 ，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.
【详解】过三角形 中心 作平面 的垂线，
过三角形 的中心 作平面 的垂线，
两垂线交于点 ，连接 ，
依据题中条件可知， 为四面体 的外接球球心，
因为 ，
所以 ,
则,
即外接球半径为 ，
则该球的表面积为 ，
故选：C.
7. 已知直线 与抛物线 相交于 两点，以 为直径
的圆与抛物线 的准线相切于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，抛物线 的准线为 ，利用抛物线的几何性质求出 和抛物
线 的方程和焦点坐标 ，结合直线 的方程可知，直线 经过焦点 ，利
用抛物线的定义表示出以 为直径的圆的半径和圆心 ,由 得到关于 的
方程，解方程求出 ，则得到弦长.
【详解】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以抛物线 的方程为： ，其焦点为 ，
又直线 ，所以直线 恒过抛物线的焦点 ，
设点 ，因为 两点在抛物线 上，
联立方程 ，两式相减可得， ，
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