福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测 数学答案

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厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、单选题：
1．D 2．B
3．A（选择性必修一P12，练习2） 4．C（选择性必修一P140，阅读材料）
5．B（选择性必修一P95，练习1） 6．C（选择性必修一P34，例6）
7．B（选择性必修一P36，例7） 8．A
二、多选题：
9．BD（选择性必修一P96，例5） 10．ACD（选择性必修一P103，18）
11．AD（选择性必修一P44，16） 12．AD
三、填空题：
13．
( )
1, 2−
（答案不唯一）（选择性必修一P102，1）
14．
3yx=
15．
8
19
n

−

（选择性必修二P6，例4）
16．
( ) ( )
22
2 1 1xy− + − =
，
13 1−
（选择性必修一P103，12）
８．解析：延长
1
AF
交椭圆
E
于点
，连接
2
CF
，
由椭圆定义，
12
| | | | 2AF AF a+=
，有
12
||
3
AF a=
，
由椭圆对称性，得
12
CF F B=
，所以
11
2AF FC=
，所以
1
||
3
a
CF =
，
再由椭圆定义：
12
| | | | 2CF CF a+=
，有
25
||
3
a
CF =
，
因为
2 2 2
22
| | | | | |CF AC AF=+
，所以
290CAF=
，
在
12
AF F△
中，
2 2 2
1 2 1 2
| | | | | |F F AF AF=+
即
22
20
49
ca=
，有离心率
5
3
e=
．
12．解析：
①
( ,0]
n
a −
时，
1( ) 1 0
n n n
a f a a
+= = −
，
②
(0,1)
n
a
时，
( )
2
1( ) 1 ( 1) 1 0,1
n n n n n n
a f a a a a a
+= = − + = − + 
，
③
(1, )
n
a +
时，
2
1( ) 1 ( 1) 1 1
n n n n n n
a f a a a a a
+= = − + = − + 
，
④
1
n
a=
时，
2
1( ) 1 1
n n n n
a f a a a
+= = − + =
，
因此，
1
121
1, 0,
1, 0.
n
n
nn
aa
aa a a
+
−
=− +
有
10a
时，
11
nn
aa
+− = −
，
10a
时，
1nn
aa
+−=
2
( 1)
n
a−
，
对于选项Ａ，
11(0,1)
2
a=
，
1
n
a
．
对于选项Ｂ，
{}
n
a
为递增数列时，
10a
且
11a
．
对于选项Ｃ，
{}
n
a
为等差数列时，
10a
或
11a=
（其中，
11a=
时，
{}
n
a
为常数列）．
对于选项Ｄ，
12a=
，
2
11
n n n
a a a
+− = −
，有
1
1 1 1 1
1 ( 1) 1
n n n n n
a a a a a
+
= = −
− − −
，
y
x
O
B
C
A
F
1
F
2
所以
1
1 1 1
11
n n n
a a a +
=−
−−
，
1 2 1 2 2 3 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
n n n n
a a a a a a a a a a a
++
+ + + = − + − + + − = −
− − − − − − − −
因为
121a=
，所以
11
n
a+
，即
1
10
1
n
a+
−
，
所以
1 2 1
1 1 1 1 1
1
n
a a a a
+ + + =
−
，故选AD．
16．依题意得
(2,0)A
，
(2,2)C
，因为
M
为
AB
中点，所以
CM AM⊥
，
所以点
M
的轨迹是以
AC
为直径的圆，又
AC
中点为
(2,1)
，
2AC =
，
所以点
M
的轨迹方程为
( ) ( )
22
2 1 1xy− + − =
,圆心
(2,1)D
，
因为点
(2,0)A
关于直线
0xy+=
的对称点为
(0, 2)A−
，
所以由对称性可知
MN AN+
的最小值为
( ) ( )
22
1 0 2 2 1 1 13 1AD
− = − + − − − = −
．
四、解答题：
17．（选择性必修二P8，练习4）本题主要考查数列前
n
项和公式、通项公式、数列求和等知
识，考查函数与方程思想、运算求解、推理论证能力．满分10分
法一：（1）
2n
时，
22
1( 1)
n n n
a S S n n
−
= − = − −
................................................. 2分
21n=−
............................................................................... 3分
1n=
时，
11
1aS==
， ............................................................................................... 4分
综上所述，
21
n
an=−
．............................................................................................. 5分
（2）因为
1
1 1 1 1 1
()
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
n
nn
ba a n n n n
+
= = = −
− + − +
， ...................... 7分
所以
12 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( )
2 3 2 3 5 2 2 1 2 1
nn
T b b b nn
= + + + = − + − + + −
−+
1 1 1 1 1 1
(1 )
2 3 3 5 2 1 2 1nn
= − + − + + −
−+
...................................................... 9分
11
(1 )
2 2 1 2 1
n
nn
= − =
++
． ........................................................................... 10分
法二：（1）等差数列前
n
项和为
21
()
22
dd
n a n+−
（其中
d
为公差），
因为
2
n
Sn=
，所以
{}
n
a
为等差数列， .................................................................... １分
并且
1
2
d=
，
11
1aS==
，解得：
11a=
，
2d=
， ................................................. 3分
1( 1) 2 1
n
a a n d n= + − = −
． .................................................................................... ５分
（2）同法一．
18．（选择性必修一P86，例题4；P91，例题1）本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线
与圆的位置关系等知识，考查数形结合思想、函数与方程思想、运算求解、推理论证能
力．满分12分
法一：(1)延长
CB
交
x
轴于点
N
，因为
120OAB=
，
=2AB OA=
，
所以
60NAB=
，所以
33B（ ， ）
， ......................................................................... 2分
又
120ABC=
，所以
60ANB=
，
所以直线
BC
的倾斜角为
120
，即
3
BC
k=−
， .................................................... 4分
所以直线
BC
的方程为
3 3( 3)yx− = − −
，
即
3 4 3 0xy+ − =
． .............................................................................................. 5分
（2）依题意设圆
M
的方程为
22 0x y Dx Ey F+ + + + =
，
所以
0,
4 2 0,
9 3 3 3 0,
F
DF
D E F
=
+ + =
+ + + + =
解得
2,
2 3,
0.
D
E
F
=−
=−
=
................................................ 7分
所以圆
M
的方程为
22
2 2 3 0x y x y+ − − =
，
即
( )
( )
2
2
1 3 4xy− + − =
， ...................................................................................... 8分
所以
(1, 3)M
，半径
2r=
，
因为直线
OC
被圆
M
所截的弦长为4，
所以直线
OC
过圆心
(1, 3)M
， ............................................................................... 9分
所以直线
OC
的方程为
3yx=
， ........................................................................... 10分
所以由
3 4 3 0,
3,
xy
yx
+ − =
=
得
2,
2 3,
x
y
=
=
所以
(2,2 3)C
． .............................. 12分
法二：
（1）(1)延长
CB
交
x
轴于点
N
，
因为
120OAB ABC =  =
，
=2AB OA=
，
所以
60BAN ANB ABN =  =  =
，
所以
ABN△
为等边三角形，即
=2AN
， ............................................................... 2分
所以
(4,0)N
， .............................................................................................................. 3分
又因为直线
BC
的倾斜角为
120
，即
3
BC
k=−
， ................................................ 4分
所以直线
BC
的方程为
4 3( 0)yx− = − −
即
3 4 3 0xy+ − =
．..................... 5分
（2）线段
OA
的中垂线方程为
1x=
，
因为线段
OB
的中点坐标为
33
,
22




，直线
OB
的斜率为
3
3
，
所以线段
AB
的中垂线方程为
33
3
22
yx

− = − −


即
3 2 3yx= − +
，
所以由
1,
3 2 3,
x
yx
=
= − +
得
1,
3,
x
y
=
=
..................................................................... 8分
所以
(1, 3)M
，半径
( )
( )
2
2
1 0 3 0 2r OC= = − + − =
，
因为直线
OC
被圆
M
所截的弦长为4，
所以
OC
为圆
M
的直径即
M
为线段
OC
中点， ................................................... 10分
所以
(2,2 3)C
． ....................................................................................................... 12分
法三：
（1）同法一．
x
y
–1
1
2
3
4
–1
1
2
3
N
B
A
O
C
摘要：

厦门市2021-2022学年度第一学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：1．D2．B3．A（选择性必修一P12，练习2）4．C（选择性必修一P140，阅读材料）5．B（选择性必修一P95，练习1）6．C（选择性必修一P34，例6）7．B（选择性必修一P36，例7）8．A二、多选题：9．BD（选择性必修一P96，例5）10．ACD（选择性必修一P103，18）11．AD（选择性必修一P44，16）12．AD三、填空题：13．（答案不唯一）（选择性必修一P102，1）14．15．（选择性必修二P6，例4）16．，（选择性必修一P103，12）８．解析：延长交椭圆于点，连接，由椭...

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