- 2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版）专题22.5 二次函数的应用（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

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专题 22.5 二次函数的应用
【典例 1】某企业安排 75 名工人生产甲，乙两种产品，每名工人每天可生产 2件甲产品或 1件乙产品，且
每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利 20 元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于 5件，
当乙产品每天生产 5件时，每件可获利 150 元，每增加 1件，当天平均每件利润减少 2元，设每天安排
x（x为不小于 5的整数）名工人生产乙产品．
（1）用含 x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有 　 　名；每件乙产品可获利润 　 　元；
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 450 元，求每件乙产品可获得的利润；
（3）该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等．已知
每名工人每天可生产 1件丙产品，丙产品每件可获利 25 元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润
的和最大时，请求出 x的值．
【思路点拨】
（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润，根据题意构造方程即可；
（3）设生产甲产品 m人，则生产丙产品 2m人，则 m
¿75−x
3
，设生产三种产品每天可获得的总利润的和
为w元，根据题意列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【解题过程】
解：（1）由已知，每天安排 x人生产乙产品时，生产甲产品的有（75﹣x）人；
在乙每件 150 元获利的基础上，增加（x5﹣ ）人，利润减少 2（x5﹣ ）元每件，则乙产品的每件利润为 150
2﹣ （x5﹣ ）＝（160 2﹣x）元．
故答案为：（75﹣x）；（160 2﹣x）；
（2）由题意
20×2（75﹣x）＝x（160 2﹣x）+450，
∴x2100﹣x+1275＝0，
解得 x1＝15，x2＝85（不合题意，舍去），
∴x＝15，
160 2∴﹣x＝130，
答：每件乙产品可获得的利润是 130 元；
（3）设生产甲产品 m人，则生产丙产品 2m人，可获得的总利润的和为 w元，
∴m+2m+x＝75，
∴m
¿75−x
3
，
根据题意得：
w＝20×2m+25×2m+x（160 2﹣x）
＝90m+160x2﹣x2
＝90
×75−x
3+¿
160x2﹣x2
＝﹣2x2+130x+2250，
∴对称轴为直线 x
¿−130
2×(−2)=¿
32
1
2
，
∵x为正整数，﹣2＜0，
∴x＝32 或x＝33 时w最大，
当x＝32 时，m
¿75−32
3
不是整数，
当x＝33 时，m
¿75−33
3=¿
14，
∴x＝33，
答：x的值为 33．
1．（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为 8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来 10 天的售价
m（元/kg）与时间第 x天之间满足函数关系式 m
x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况，发
现每天销售量 y（kg）与时间第 x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第 x天… 2 5 9 …
销售量 y/kg … 33 30 26 …
（1）求 y与x的函数解析式；
（2）在这 10 天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【思路点拨】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种水果的日利润为 w元，得出 w＝（﹣x+35）（
1
2
x+18 8﹣）
¿−1
2
（x
−15
2
）2
+3025
8
，再结
合1≤x≤10，x为整数，利用二次函数的性质可得答案．
【解题过程】
解：（1）设每天销售量 y与时间第 x天之间满足的一次函数关系式为 y＝kx+b，
根据题意，得：
{
2k+b=33
5k+b=30
，
解得
{
k=−1
b=35
，
∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为 w元，
则w＝（﹣x+35）（
1
2
x+18 8﹣ ）
¿−1
2
x2
+15
2
x+350
¿−1
2
（x
−15
2
）2
+3025
8
，
1≤∵x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为 378，
答：在这 10 天中，第 7天和第 8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为 378 元．
2．（2022•沙市区模拟）荆州某旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一
天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5的倍数．发现每天的营运规律如下：当 x不超过
100 元时，观光车能全部租出；当 x超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5元，租出去的观光车就会减少
1辆．已知所有观光车每天的管理费是 1100 元．
（1）如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入
＝租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【思路点拨】
（1）观光车全部租出每天的净收入＝出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出
不等式求解即可；
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