- 2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版）专题22.4 二次函数的综合（压轴题专项讲练）（人教版）（原卷版）

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专题 22.4 二次函数的综合
【典例 1】如图，平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A，B在x轴上，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过
A，C（4，﹣5）两点，且与直线 DC 交于另一点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为y轴上一点，过点 P作抛物线对称轴的垂线，垂足为 Q，连接 EQ，AP．试求 EQ+PQ+AP 的最小
值；
（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点 M，使得以点 M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）求出 A点坐标后，将点 A、C代入 y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）连接 OC，交对称 x＝1于点 Q，此时 EQ+OQ 的值最小，最小值为线段 OC 长，再求解即可；
（3）分三种情况讨论：①以 AE 为菱形对角线，此时 AM＝ME；②以 AM 为菱形对角线，此时 AE＝EM；
③以 AN 为菱形对角线，此时 AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵四边形 ABCD 为正方形，C（4，﹣5），
∴AD＝AB＝5，B（4，0），
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
将点 A，C代入 y＝﹣x2+bx+c，
∴
{
−16+4b+c=−5
−1−b+c=0
，
解得
{
b=2
c=3
，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接 OC，交对称轴 x＝1于点 Q，
∵PQ⊥y轴，
∴AO∥PQ，
∵AO＝PQ＝1，
∴四边形 AOQP 是平行四边形，
∴AP＝OQ，
∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ
若使 EQ+PQ+AP 值为最小，则 EQ+OQ 的值为最小，
∵E，C关于对称轴 x＝1对称，
∴EQ＝CQ，
∴EQ+OQ＝CQ+OQ，
此时 EQ+OQ 的值最小，最小值为线段 OC 长，
∵C（4，﹣5），
∴
OC=❑
√
42+52=❑
√
41
，
∴EQ+PQ+AP 的最小值为
❑
√
41+1
，
即EQ+PQ+AP 的最小值为
❑
√
41+1
；
（3）存在点 M，使得以点 M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：
①以AE 为菱形对角线，此时 AM＝ME，
∴
¿
，
解得
，
∴M（1，﹣3）；
②以AM 为菱形对角线，此时 AE＝EM，
∴
¿
，
解得
{
x=2
y=❑
√
17
m=−5+❑
√
17
或
{
x=2
y=−❑
√
17
m=−5−❑
√
17
，
∴M（1，﹣5
+❑
√
17
）或（1，﹣5
−❑
√
17
）；
③以AN 为菱形对角线，此时 AE＝AM，
∴
{
−1+x=−2+1
y=m−5
1+25=4+m2
，
解得
{
x=0
y=❑
√
22−5
m=❑
√
22
或
{
x=0
y=−5−❑
√
22
m=−❑
√
22
，
∴M（1，
❑
√
22
）或（1，
−❑
√
22
）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3），
(1，❑
√
22)
，
(1，−❑
√
22)
，
(1，−5+❑
√
17)
，
(1，−5−❑
√
17)
．
1．（2022•新化县模拟）如图，已知点 A（﹣1，0）和点 B（1，1），若抛物线 y＝x2+c与线段 AB 有公共
点，则 c的取值范围是（　　）
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