- 2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版）专题22.1 二次函数的字母系数问题（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

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专题 22.1 二次函数的字母系数问题
【典例 1】已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线 x＝1，
有下列结论：① c＞0；② 9a+3b+c＞0；③若方程 ax2+bx+c+1＝0有解 x1、x2，满足 x1＜x2，则 x1＜﹣2，x2
＞4；④抛物线与直线 y＝x交于 P、Q两点，若 PQ
¿❑
√
66
，则 a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（　　）
个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】
利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正
确；分别过点 P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ 为等腰直角三角形，设点 P，Q的横坐标分别为 m，n，
则m，n是方程 ax2+（b1﹣）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用 a的代数式表示 PQ，利
用PQ
¿❑
√
66
，列出方程，解方程即可求得 a值，即可判定④的结论不正确．
【解题过程】
解：∵a＜0，
∴抛物线 y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线 y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线 x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线 y＝ax2+bx+c的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与 y轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴① 的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值 y＞0，
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．
∴② 的结论正确．
作直线 y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为 x1，x2，如图，
则x1，x2是方程 ax2+bx+c＝﹣1的两根，
即方程 ax2+bx+c+1＝0的解为 x1、x2，
由图象可知：满足 x1＜x2，则 x1＜﹣2，x2＞4，
∴③ 的结论正确；
如图，分别过点 P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点 H，
则△PHQ 为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ
¿❑
√
2
HQ．
∴
{
y=a x2+bx +c
y=x
．
∴ax2+（b1﹣ ）x+c＝0．
设点 P，Q的横坐标分别为 m，n，
∴m，n是方程 ax2+（b1﹣ ）x+c＝0的两根，
∴m+n
¿1−b
a
，mn
¿c
a
．
∴HQ＝|m﹣n|
．
∵抛物线 y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线 x＝1，
∴
{
4a−2b+c=0
−b
2a=1
．
∴
{
b=−2a
c=−8a
．
∴HQ
¿❑
√
¿¿
．
∵PQ
¿❑
√
66
，
∴
❑
√
2
•
❑
√
¿¿
．
解得：a＝﹣1或
−1
3
．
∴④ 的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
1．（2022 春•永丰县期中）二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列列结论：
①a﹣b+c＜0 2②a+b＞0 ③b＞a＞c3|④a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的结论是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②④
【思路点拨】
由x＝﹣1是y＜0判断①，由抛物线开口方向可得 a＜0，由抛物线对称轴位置可得
−b
2a＞
1，从而判断②，
由一元二次方程根与系数的关系可得 x1x2
¿c
a
，从而判断③，由 a+b+c＞0，2a+b＞0及a＜0，b＞0，c＜0
可判断④．
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