2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测参考答案

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2023-2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检
测
数学参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与
本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质
参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A C C A B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个
选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6分，部分选对的
得部分分，有选错的得 0分。
注意：全部选对的得 6分，第 9、11 题选对其中一个选项得 2分，第 10 题选对
其中一个选项得 3分。有错选的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABD AD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．
−1
2
/
−0.5
13．
❑
√
5
14．
4 : 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（本题满分 13 分，第一小题 6分，第二小题 7分）
解：（1）由题意得，复数
z=m − i(m∈R)
，
所以
z=m+i(m∈R)
，
则
z⋅(1+3 i )=
(
m+i
)
⋅(1+3 i)=m− 3+
(
3m+1
)
i
，
因为
为纯虚数，所以
{
m−3=0
3m+1≠0
)
，解得
m=3
；
（2）复数
z2=a − i
3−i=
(
a − i
) (
3+i
)
(
3−i
) (
3+i
)
=3a+1
10 +a− 3
10
i
，
因为复数
z2=a − i
z
在复平面对应的点在第一象限，
所以
¿
，解得
a>3
16．（本题满分 15 分，第一小题 4分，第二小题 4分，第三小题 7分）
解：（1）
⃗
a
在
⃗
b
方向上的投影向量为
⃗
a⋅
⃗
b
|
⃗
b
)
2⋅
⃗
b=
❑
√
2×1×
❑
√
2
2
1⋅
⃗
b=
⃗
b
；
（2）
|
⃗
a+2
⃗
b
)
=❑
√
(
⃗
a+2
⃗
b
)
2=❑
√
⃗
a2+4
⃗
a⋅
⃗
b+4
⃗
b2=❑
√
2+4×❑
√
2×1×
❑
√
2
2+4=❑
√
10
；
（3）因为向量
(
2
⃗
a − λ
⃗
b
)
与
(
λ
⃗
a− 3
⃗
b
)
的夹角为锐角，
所以
(
2
⃗
a − λ
⃗
b
)
⋅
(
λ
⃗
a − 3
⃗
b
)
>0
，且
(
2
⃗
a − λ
⃗
b
)
与
(
λ
⃗
a− 3
⃗
b
)
不共线，
对于
(
2
⃗
a − λ
⃗
b
)
⋅
(
λ
⃗
a − 3
⃗
b
)
>0
，
得
2λ
⃗
a2−
(
λ2+6
)
⃗
a⋅
⃗
b+3λ
⃗
b2=4λ −
(
λ2+6
)
+3λ>0
，
解得
1<λ<6
，
若
(
2
⃗
a − λ
⃗
b
)
与
(
λ
⃗
a− 3
⃗
b
)
共线，
则存在
2
⃗
a − λ
⃗
b=μ
(
λ
⃗
a− 3
⃗
b
)
，得
{
λμ=2
λ=3μ
)
，解得
λ=±❑
√
6
，
所以若向量
(
2
⃗
a − λ
⃗
b
)
与
(
λ
⃗
a− 3
⃗
b
)
的夹角为锐角，实数
λ
的取值范围为
(
1,❑
√
6
)
∪
(
❑
√
6,6
)
.
17．（本题满分 15 分，第一小题 7分，第二小题 8分）
解：（1）因为
asin Acos B+bsin Acos A=❑
√
3acos C
，
所以根据正弦定理得
sin Asin Acos B+sin Asin Bcos A=❑
√
3 sin Acos C
，
因为
sin A ≠ 0
，
所以
sin Acos B+sin Bcos A=❑
√
3 cos C
，
即
sin
(
A+B
)
=❑
√
3 cos C
，
即
sin C=❑
√
3 cos C
．
因为
cos C ≠ 0
，所以
tan C=❑
√
3
．
因为
0<C<π
，所以
C=π
3
．
（2）
⃗
AB ⋅
⃗
AC=bc cos A=1
．
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