2023-2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第一次阶段性检测

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准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023-2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级第一次阶段性检测
数 学 试 卷
（考试时间：120 分钟；总分：150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知点
O
是平行四边形
ABCD
的对角线的交点，则
A．
⃗
OA =
⃗
OC
B．
⃗
AB=
⃗
CD
C．
⃗
OD //
⃗
BO
D．
¿
⃗
AC∨¿∨
⃗
BD∨¿
2．对右侧图形的表示恰当的是
A．
AB
B．
C．
⃗
AB
D．
|
⃗
AB
)
3．如图，在
△ABC
中，
∠BAC =π
3,
⃗
AD=2
⃗
DB
，
P
为
CD
上一点，且
⃗
AP=m
⃗
AC+1
2
⃗
AB
，若
¿
⃗
AC∨¿3,∨
⃗
AB∨¿4
，则
⃗
AP ⋅
⃗
CD
的值为
A．
−7
6
B．
7
6
C．
−13
12
D．
13
12
4．在直角坐标系
xOy
中，已知
⃗
a=(1,3)
，
⃗
b=(3,1)
，若
∀t∈R
，
|
⃗
a− λ
⃗
b
)
≤
|
⃗
a −t
⃗
b
)
恒成立，则
λ=¿
A．
1
3
B．
2
3
C．
2
5
D．
3
5
5．已知向量
a
→
，
b
→
，若
|
a
→
)
=3
，
|
b
→
)
=2
，
a
→
与
b
→
的夹角为
π
3
，则
|
2a
→
−3b
→
)
＝
A．6 B．
3❑
√
6
C．3 D．
3❑
√
2
6．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或
空气进入室内.如图 1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正
方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上 下､
边与正八边形的上 下边平行，边长都是､4.如图 2，
A , B
是中间正
方形的两个相邻的顶点，
P
是外框正八边形上的一点，则
⃗
AB ⋅
⃗
AP
的最大值是
A．
16+8❑
√
2
B．
16 ❑
√
2+8
C．
8❑
√
2+8
D．
16 ❑
√
2+16
7． 在
△ABC
中 ， 角
A
、
B
、
C
的 对 边 分 别 为
a
、
b
、
c
， 且
△ABC
的 面 积
S△ABC=❑
√
3
，
S△ABC=❑
√
3
4
(
a2+c2−b2
)
，则
⃗
AB ⋅
⃗
BC=¿
A．
❑
√
3
B．
−❑
√
3
C．
2
D．
−2
8．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于
2
3π
时，
费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为
2
3π
.已知在
△ABC
中，
B=π
2
，
P
为
△ABC
的费马点，
若
|
PB
)
=1
，
|
PA
)
+
|
PC
)
=λ
，则
λ
的取值范围是
A．
[
1,+∞
)
B．
[
2−❑
√
3,+∞
)
C．
[
1+2❑
√
3,+∞
)
D．
[
2+2❑
√
3,+∞
)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．在下面给出的关系式中，不正确的是
A．
⃗
a⊥
⃗
b⇒
⃗
a⋅
⃗
b=
(
⃗
a⋅
⃗
b
)
2
B．
⃗
a⋅
⃗
b=
⃗
a⋅
⃗
c⇒
⃗
b=
⃗
c
C．
(
⃗
a⋅
⃗
b
)
⋅
⃗
c=
⃗
a⋅
(
⃗
b⋅
⃗
c
)
D．
|
⃗
a⋅
⃗
b
)
≤
⃗
a⋅
⃗
b
10．已知向量
⃗
a=(1,❑
√
3)
，
⃗
b=(cos α , sin α)
，则下列结论正确的选项是
A．若
⃗
a/¿
⃗
b
，则
tan α=❑
√
3
B．若
⃗
a⊥
⃗
b
，则
tan α=−
❑
√
3
3
C．若
⃗
a
与
⃗
b
的夹角为
π
3
，则
¿
⃗
a −
⃗
b∨¿3
D．若
⃗
a
与
⃗
b
方向相反，则
⃗
b
在
⃗
a
上的投影向量的坐标是
(−1
2,−
❑
√
3
2)
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常
优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的
关联.它的具体内容是：已知
M
是
△ABC
内一点，
△BMC , △AMC , △AMB
的面
积分别为
SA, SB, SC
，且
SA⋅MA
→
+SB⋅MB
→
+SC⋅MC
→
=0
→
.以下命题正确的有
A．若
SA:SB:SC=1:1 :1
，则
M
为
△AMC
的重心
B．若
M
为
△ABC
的内心，则
BC ⋅
⃗
MA+AC ⋅
⃗
MB+AB ⋅
⃗
MC=
⃗
0
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