福建省福州市福建师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

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福建师大附中 2022-2023 学年下学期期末考考试
高二数学试卷
时间：120 分钟 满分：150 分
命题：刘文清 审核：吴小程、陈玮
试卷说明：
（1）本卷共四大题，22 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题：每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.
1．若集合
M={x∨ln x<1}
，
N={x∨x+1
x<2}
，则
M ∩ N =¿
（ ）
A．
{x∨x>1}
B．
{x∨¿x<e}
C．
{x∨x<e}
D．
⌀
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．若
，则
a − c>b −d
B．若
a
c2>b
c❑2
，则
a>b
C．若
b>a>0, m>0
，则
a+m
b+m>a
b
D．若
a>b>0, c <d<0
，则
a
c>b
d
3．已知
a∈R
，则“
0<a<1
”是“函数
f
(
x
)
=ax ❑2−2x −5
在
(
−1,1
)
内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若
a>0, b>0,2ab+a+2b=3
，则
a+2b
的最小值是（ ）
A．
❑
√
2
2
B．1 C．2 D．
3❑
√
2
2
5．
(
x❑2− x+y
)
❑5
的展开式中
x❑5y❑2
的系数为（ ）
A．
−10
B．10 C．
−30
D．30
6．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开
展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方
法总数有（ ）
A．540 种B．504 种C．486 种D．432 种
7．已知
f
(
x
)
=2x
2x+1+ax +cos 2 x
，若
f
(
π
3
)
=2
，则
f
(
−π
3
)
等于（ ）
A．
−2
B．
−1
C．0 D．1
8．从装有
a
个红球和
b
个蓝球的袋中（
a
，
b
均不小于 2），每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时
摸到红球”为
A1
，“第一次摸球时摸到蓝球”为
A2
；“第二次摸球时摸到红球”为
B1
，“第二次摸球时
摸到蓝球”为
B2
，则下列说法错误的是（ ）
A．
P
(
B1
)
=a
a+b
B．
P
(
B1∨A1
)
+P
(
B2∨A1
)
=1
C．
P
(
B1
)
+P
(
B2
)
=1
D．
P
(
B2∨A1
)
+P
(
B1∨A2
)
=1
二、多项选择题：每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于 2个，全部
选对得 5分，选对但不全得 2分，有选错得 0分.
9．下列函数中最小值为 6的是（ ）
A．
y=ln x+9
ln x
B．
y=6
|
sin x
)
+3
2
|
sin x
)
C．
y=x❑2+25
❑
√
x❑2+16
D．
y=3❑x+3❑2− x
10．已知由样本数据点集合
{
(
xi, yi
)
∨i=1,2,⋯, n }
，求得的回归直线方程为
^
y=1.5 x+0.5
，且
x=3
，现
发现两个数据点
(
1.3 ,2.1
)
和
(
4.7 ,7.9
)
误差较大，剔除后重新求得的回归直线
l
的斜率为 1.2，则（ ）
A．变量
x
与
y
具有负相关关系 B．剔除后
y
不变
C．剔除后的回归方程为
^
y=1.2 x+1.4
D．剔除后相应于样本点
(
2,3.75
)
的残差为 0.05
11．设函数
f
(
x
)
的定义域为
R
，
f
(
x −1
)
为奇函数，
f
(
x+1
)
为偶函数，当
x∈
(
−1,1
)
时，
f
(
x
)
=− x❑2+1
，则下列结论正确的是（ ）
A．
f
(
7
2
)
=−3
4
B．
f
(
x+7
)
为奇函数
C．
f
(
x
)
在
(
6,8
)
上为减函数 D．方程
f
(
x
)
+lg x =0
仅有 6个实数解
12．已知数列
{an}
满足
a1=1
，
an+1=an❑2+an
，则（ ）
A．
{an}
是递增数列 B．
an≥ n
C．
a2022≤2❑2021
D．
1
a1+1+1
a2+1+…+1
an+1<1
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题：每小题 5分，共 20 分.
13．若
(
2x+1
)
❑6=a0+a1x+a2x❑2+…+a6x❑6
，则
a0+a2+a4+a6=¿
ç .
14．在一次投篮游戏中，每人投篮 3次，每投中一次记 10 分，没有投中扣 5分，某人每次投中目标的概率
为
2
3
，则此人恰好投中 2次的概率为 ç ，得分的方差为 ç .
15．现有 5人通过闸机进站乘车，已知有 3个不同的闸机，每人只需通过一个闸机，每个闸机每次只能过
1人，而且每个闸机都要有人经过，则有 ç 种不同的进站方式（用数字作答）.
16．已知函数
f
(
x
)
=
{
e2x, x ≤ 0
x , x >0
)
，
g
(
x
)
=− x2+2x
（其中
e
是自然对数的底数），若关于
x
的方程
g
(
f
(
x
)
)
=m
恰有三个不等实根
x1, x2, x3
，且
x1<x2<x3
，则
2x1− x2+2x3
的最大值为 ç .
四、解答题：6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题 10 分）
已知
Sn
为数列
{an}
的前
n
项和，且满足
Sn+n=2an, n∈N∗
.
（1）求证：数列
{an+1}
是等比数列；
（2）若
bn=2n
an⋅an+1
，记
Tn
为数列
{bn}
的前
n
项和，求满足不等式
Tn<13
14
的
n
的最大值.
18．（本小题 12 分）
已知函数
f
(
x
)
=sin x
x
.
（1）求曲线
y=f
(
x
)
在
x=π
处的切线方程；
（2）当
x∈¿
时，求函数
f
(
x
)
的最小值.
19．（本小题 12 分）
甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，
在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜
的概率均为 0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为 0.6，乙队获胜的概率为 0.4.
（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了
ξ
局比赛，求随机变量
ξ
的分布列，并指出进行几局比
赛的可能性最大；
（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？
20．（本小题 12 分）
某学校号召学生参加“每天锻炼 1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了 100 名学生一
个月（30 天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数
[0,5]
¿
¿
¿
¿
¿
人数 4 15 33 31 11 6
（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数
X
近似服从正态分布
N
(
μ , σ2
)
，其中
μ
近似为样本的
平均数（每组数据取区间的中间值），且
σ=6.1
.用频率估计概率，若全校有 3000 名学生，请估计参
加“每天锻炼 1小时”活动超过21 天的人数（精确到 1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼 1小时”活动的天数在
¿
的学生中有 30 名男生，天数在
[0,15 ]
的学生
中有 20 名男生，学校对当月参加“每天锻炼 1小时”活动超过15 天的学生授予“运动达人”称号.请填写
下面列联表：
性别 活动天数 合
计
[0,15 ]
¿
男生
女生
合计
并依据小概率值
α=0.05
的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有
关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：
P
(
μ − σ ≤ X ≤ μ+σ
)
=0.6827
；
P
(
μ − 2σ ≤ X ≤ μ+2σ
)
=0.9545
；
P
(
μ − 3σ ≤ X ≤ μ+3σ
)
=0.9973
.
χ2=n
(
ad − bc
)
2
(
a+b
) (
c+d
) (
a+c
) (
b+d
)(
n=a+b+c+d
)
α
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（本小题 12 分）
经观测，长江中某鱼类的产卵数
y
与温度
x
有关，现将收集到的温度
xi
和产卵数
yi
(
i=1,2,⋯,10
)
的10 组观
测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
∑
i=1
10
xi
∑
i=1
10
ti
∑
i=1
10
yi
∑
i=1
10
zi
∑
i=1
10
(
xi− x
)
2
360 54.5 1360 44 384
∑
i=1
10
(
ti−t
)
2
∑
i=1
10
(
ti−t
)(
yi− y
)
∑
i=1
10
(
xi− x
) (
zi− z
)
∑
i=1
10
(
xi− x
) (
yi− y
)
3 588 32 6430
表中
ti=❑
√
xi
，
zi=ln yi
，
z=1
10 ∑
i=1
10
zi
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