福建省福州市2023-2024学年高三第三次质量检测数学试题答案

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数学参考答案及评分标准 第 1页 共 12 页
绝密★启用前 试卷类型：A
2023-2024 学年福州市高三年级第三质量检测评分参考
数 学 2024.4
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
B
C
A
D
1．已知复数
z
满足
( 1)i 1 iz  
（
i
是虚数单位），则
z
A．
1
B．
1
C．
D．
i
解析：∵
i i 1 iz 
，∴
i 1z
，即
iz 
，故选 C.
2．已知角
的顶点在坐标原点，始边与
x
轴非负半轴重合，
5
cos 5
，
( , 2)P m
为其终边
上一点，则
m
A．
4
B．
4
C．
1
D．
1
解析：∵
5
cos 5
，∴
2
tan 2
m
 
，∴
1m
，故选 D .
3．函数
2
2
3
( )
1
x
f x
x
的图象大致为
解析：结合该函数为偶函数，及
 
0 3f
可判断应选 A.
4．在菱形
ABCD
中，若
| | | |AB AD AB 
 
，且
AD
在
AB
上的投影向量为
AB
，则
A．
1
2
B．
1
2
C．
2
2
D．
2
2
解析：由已知
AB AD AB 
 
知该菱形中
AB AD BD 
，
∴由
D
向
AB
作垂线，垂足即为
AB
中点，∴
1
2
，故选 B .
5．已 知
5
log 2a
，
2
logb a
，
1
( )
2
b
c
， 则
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数学参考答案及评分标准 第 2页 共 12 页
A.
c b a 
B.
c a b 
C.
a b c 
D.
b c a 
解析：∵
5 5
log 2 log 5 1a  
，∴
2
log 0b a 
，
1
( ) 1
2
b
c 
，∴
c a b 
，故选 B.
6．棱长为
1
的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，点
P
为
1
BD
上的动点，
O
为底面
ABCD
的中心，
则
OP
的最小值为
A.
3
3
B.
6
3
C.
6
6
D.
3
2
解析：在正方体中，易知
AC BD
，
1
AC DD
，且
1
BD DD D
，∴
AC
平面
1
BDD
，
易知当
OP
平面
1
BDD
，且
1
OP BD
时，
OP
的长度最小，
在
1
RT BDD△
中,不难求得
6
6
OP
，故选 C.
7．若 直 线
y ax b 
与曲线
ex
y
相切，则
a b
的 取 值 范围为
A．
( ,e]
B．
[2,e]
C．
[e, )
D．
[2, )
解析：设切点为
0
0
( ,e )
x
x
，则
0
e ,
x
a
∴切线方程为
0 0
0
e ( ) e
x x
y x x  
，则
0
0
(1 )ex
b x 
，∴
0
0
(2 )ex
a b x 
，
设
0
0
( ) (2 )ex
f x x 
，则
0
0
( ) (1 )ex
f x x
 
，
易知函数
( ) (1) ef x f 
，又
(2) 0 2f 
，故可判断选 A .
（由图象知当且仅当切线与曲线相切于
 
1,e
时，
1
1 e ea b a b   
最大，亦可知选 A .）
8．已知函数
( ) 2sin ( 3 sin cos )f x x x x
 
 
( 0)
在
π
(0, )
3
上单调递增，且对任意的实
数
a
，
( )f x
在
( , π)a a
上不单调，则
的取值范围为
A．
5
(1, ]
2
B．
5
(1, ]
4
C．
1 5
( , ]
2 2
D．
1 5
( , ]
2 4
解析：∵
π
( ) 2sin ( 3 sin cos ) 2sin(2 ) 3
3
f x x x x x
 
 
，
∵
( )f x
在
π
(0, )
3
上单调递增，∴
π π π
23 3 2
 
，∴
5
4
，
∵对任意的实数
a
，
( )f x
在区间
( , π)a a
上不单调，∴
( )f x
的周期
2πT
，
∴
2π 2π
2
T
 
，∴
1
2
，∴
1 5
2 4
 
，故选 D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
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数学参考答案及评分标准 第 3页 共 12 页
题号
9
10
11
答案
ABD
ACD
BC
9．双曲线
2 2
2 2
: 1
3
x y
Ca a
 
( 0)a
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，且
C
的两条渐近线的夹角
为
，若
1 2
| | 2F F e
（
e
为
C
的离心率），则
A．
1a
B．
π
3
C．
2e
D．
C
的一条渐近线的斜率为
3
解析：易知该双曲线实半轴为
a
，虚半轴为
3a
，半焦距为
2a
，
∴离心率
22
a
ea
 
，∴焦距
4 4a
，即
1a
，∴选项 A正确，选项 C错误；
易知
C
的两条渐近线的斜率为
33
a
ka
   
，∴这两条渐近线的倾斜角分别为
π
3
和
2π
3
，
∴
C
的两条渐近线的夹角为
π
3
，∴选项 B，D正确；
综上所述，应选 ABD .
10. 定义在
R
上的函数
( )f x
的值域为
( ,0)
，且
(2 ) ( ) ( ) 0f x f x y f x y  
，则
A．
(0) 1f 
B．
2
(4) [ (1)] 0f f 
C．
( ) ( ) 1f x f x 
D．
( ) ( ) 2f x f x  
解析：令
0x y 
，则
   
2
0 0 0f f 
，
∵函数
( )f x
的值域为
( ,0)
，∴
(0) 1f 
，选项 A正确；
令
1x
，
0y
，则
2
(2) [ (1)]f f 
，
令
2x
，
0y
，则
2 4
(4) [ (2)] [ (1)]f f f   
，∴选项 B错误；
令
0x
，则
(0) ( ) ( ) 0f f y f y  
，
∴
( ) ( ) (0) 1f y f y f  
，即
( ) ( ) 1f x f x 
，∴选项 C正确；
∵
( ) 0f x 
，
( ) 0f x  
，∴
[ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2f x f x f x f x  
∴
( ) ( ) 2f x f x  
，故选项 D正确；
综上所述，应选 ACD .
11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量
1,
1, ( 1,2,3)
n
n
n
X n
 
第 次投出正面,
第 次投出反面,
．记
A
表示事件“
1 2 0X X 
”，
B
表示事件“
21X
”，
C
表示事件“
1 2 3 1X X X  
”，则
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