湖南省长沙市周南中学2024+届高三下学期第二次模拟考试数学试题答案及评分标准

长沙市周南中学 2024 届高三第二次模拟考试数学参考答案及评分标准

一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目

要求的.

1. 已知集合

A=

{

x∣log2

(

− x2+2x+4

)

>0

)

, B=

{

y∣y=2x, x>1

)

, 则

A ∩ B=¿

A.

(

2,3

)

B.

(

0,2

)

C.

(

−1,2

)

D.

(

− ∞ , 3

)

答案: A

2. 关于

x

的方程

x2+x+1=0

在复数范围内的两个根

z1、z2

,则

A.

z1+z2=1

B.

z1z2=−1

C.

1

z1

+1

z2

=1

D.

|

z1

z2

)

=1

答案: D

3. 已知向量

⃗

a、

⃗

b、

⃗

c

中,

⃗

a

是单位向量,

|

⃗

b

)

=3,

⃗

a

与

⃗

b

的夹角为

π

3,

⃗

c=

⃗

b −

⃗

a

, 则

⃗

c⋅

⃗

a=¿

A. 2 B.

1

2

C.

−1

2

D. -1

答案: B

解析:

⃗

a⋅

⃗

b=1×3×cos π

3=3

2

, 所以

⃗

c⋅

⃗

a=

(

⃗

b −

⃗

a

)

⋅

⃗

a=

⃗

b⋅

⃗

a −

⃗

a2=3

2−1=1

2

.

4. 在空间中, 已知

l、m、n

为不同的直线,

α、β、γ

为不同的平面,则下列判断正确的是

A. 若

m⊂α , m/¿n

, 则

n/¿α

B. 若

l/¿α , 1/¿β

, 则

α/¿β

C. 若

m⊥α ,l ⊥β , m⊥l

, 则

α⊥β

D. 若

α⊥β , α ⊥γ

, 则

β/¿γ

答案: C

解析: 若

m⊂α , m/¿n

, 则

n/¿α

或

n⊂α

, 故

A

错误;

B

错,可相交;

对于

C

, 若

m⊥α ,l ⊥β , m⊥l

, 由线面垂直性质可得

α⊥β

, 即

C

正确;

若

α⊥β , α ⊥γ

, 则

β , γ

不一定平行, 故

D

错误.

5. 已知

m>0, n>0

, 直线

y=2

ex+m

与曲线

y=2 ln x −n+4

相切, 则

1

m+1

n

的最小值是

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

答案: D

解析: 易得切点横坐标

x=e

, 则

2+m=2− n+4

, 即

m+n=4

.

所以

(

m+n

)

(

1

m+1

n

)

=2+n

m+m

n≥2+2=4

, 所以

1

m+1

n≥1

当且仅当

m=n=2

时取等号.

6. 的展开式中

x3

的系数为

A. 180 B. 210 C. 240 D. 250

答案: B

7. 已知等差数列

{

an

)

的公差为

d

, 前

n

项和为

Sn

, “ 则

d<0

” “ 是

S3n− S2n<S2n− Sn

” 的

A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

答案: B

解析: “

S3n− S2n<S2n− Sn

”, 即

Sn+S3n<2S2n

,

则

n a1+n

(

n −1

)

d

2+3n a1+3n

(

3n −1

)

d

2<2

[

2n a1+2n

(

2n −1

)

d

2

)

⇔n

(

n −1

)

d

2+3n

(

3n− 1

)

d

2<2n

(

2n− 1

)

d⇔

(

n2− n+9n2−3n − 8n2+4n

)

d<0

⇔2n2d<0⇔d<0

, “ 则

d<0

” “ 是

S3n− S2n<S2n− Sn

” 的充要条件.

8. 已知

A、B

分别为双曲线

C:x2−y2

3=1

的左、右顶点, 过双曲线

C

的左焦点

F

作直线

PQ

交双曲

线于

P、Q

两点( 点

P、Q

异于

A、B

), 则直线

AP、BQ

的斜率之比

kAP :kBQ=¿

A.

−1

3

B.

−2

3

C. -3 D.

−3

2

答案: C

解析: 设

P

(

x1, y1

)

、Q

(

x2, y2

)

, 由题意得

F

(

−2,0

)

, A

(

−1,0

)

, B

(

1,0

)

,

所以

kAP =y1

x1+1, k BQ=y2

x2−1

, 所以

kAP :kBQ=x2−1

x1+1×y1

y2

,

当直线斜率存在时, 设直线

PQ

方程为

y=k

(

x+2

)

,

所以联立双曲线方程得:

{

y=k

(

x+2

)

x2−y2

3=1

)

, 所以

(

3− k2

)

x2−4k2x − 4k2−3=0

,

所以

x1+x2=4k2

3− k2, x1⋅x2=−4k2−3

3−k 2

, 因为

y1

2=3

(

x1

2−1

)

, y2

2=3

(

x2

2−1

)

,

所以

(

x2−1

x1+1

)

2

(

y2

y1

)

2

=

(

x2−1

x1+1

)

2

(

x1

2−1

x2

2−1

)

2

=

(

x2−1

) (

x1−1

)

(

x1+1

) (

x2+1

)

=x1x2−

(

x1+x2

)

+1

x1x2+

(

x1+x2

)

+1=9

,

因为过双曲线

C

的左焦点

F

作直线

PQ

交双曲线于

P、Q

两点,

所以

kAP :kBQ

比值为负数, 所以

kAP :kBQ=x2−1

x1+1×y1

y2

=−3

;

当直线

PQ

斜率不存在时, 容易验证

kAP :kBQ=−3

;

二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全

部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.

9. 下列结论正确的是

A. 若随机变量

ξ、η

满足

η=2ξ+1

, 则

D

(

η

)

=2D

(

ξ

)

+1

B. 若随机变量

ξ∼N

(

3, σ 2

)

, 且

P

(

ξ<6

)

=0.84

, 则

P

(

3<ξ<6

)

=0.34

C. 若样本数据

(

xi, yi

)

(

i=1,2,3,⋯,n

)

线性相关, 则用最小二乘法估计得到的经验回归直线经过该组数

据的中心点

(

´x , ´y

)

D. 根据分类变量

X

与

Y

的成对样本数据, 计算得到

χ2=4.712

. 依据

α=0.05

的独立性检验

(

α0.05=3.841

)

, 可判断

X

与

Y

有关

答案: BCD

解析: 对A,由方差的性质可知, 若随机变量

ξ、η

满足

η=2ξ+1

,

则

D

(

η

)

=22× D

(

ξ

)

=4D

(

ξ

)

, 故A 错误;

对

B

, 根据正态分布的图象对称性可得

P

(

3<ξ<6

)

=P

(

ξ<6

)

−0.5=0.34

, 故

B

正确;

对

C

, 根据回归直线方程过样本中心点可知

C

正确;

对

D

, 由

χ2=4.712>3.841

可判断

X

与

Y

有关, 故D 正确.

10. 过抛物线

E:x2=2py

(

p>0

)

的焦点

F

的直线

l

交抛物线

E

于

A

(

x1, y1

)

、B

(

x2, y2

)

两点

(

x1

)

¿0, y1>0¿

, 若

|

AF

)

=2

|

BF

)

=4

,则下列说法正确的是

A.

y1⋅y2

为定值

B. 抛物线

E

的准线方程为

y=−8

3

C. 过

A、B

两点作抛物线的切线, 两切线交于点

N

, 则点

N

在以

AB

为直径的圆上

D. 若过点

F

且与直线

l

垂直的直线

m

交抛物线于

C、D

两点, 则

|

AB

)

⋅

|

CD

)

=288

答案: ACD

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