湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期一模数学试卷 Word版含解析

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大联考长郡中学 2024 届模拟试卷（一）
数 学
命题人：陈家烦 曾卫国 审题人：廖喜全 孔令然
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1.已知集合 ， ，则
A．B．C．D．
2.已知复数 ，则复数 z在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知向量 ， ，若 ，则
A．B．1 C．D．2
4.已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数的范围是
A．B．C．D．
5.设集合 ，现对 M的任意一非空子集 X，令 表示 X中最大数与最小数之和，则所
有这样的 的算术平均数为
A．501 B．500 C．1002 D．1001
6.若直线 与曲线 相切，直线 与曲线 相切，则 的值为
A．1 B．C．D．
7.某校 A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若 A须在 B前面出场，且都不能在第 3号位置，则不同
的出场次序有
A．18 种B．36 种C．60 种D．72 种
8.在△ABC 中，D为边 BC 上一点， ， ， ，且 ADC 的面积为 ，则
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.）
9.已知双曲线 C： ，则
A． 的取值范围是 B．C的焦点可在 x轴上也可在 y轴上
C．C的焦距为 6 D．C的离心率 e的取值范围为
10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩，整理得到如
图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这 100 名学生中，成绩位于
内的学生成绩方差为 12，成绩位于 内的同学成绩方差为 10.则
参考公式：样本划分为 2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m、 、 ；n、 、 .记样本平均数
为 ，样本方差为 ， .
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为 77.14
C．估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
D．估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25
11.设函数 ，则以下说法中正确的是
A．B．
C． 的图象存在对称轴 D． 的图象存在对称中心
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.）
12.已知 ， ， ， ， 成等比数列，且 2和8为其中的两项，则 的最小值为 .
13.若正四面体 ABCD 的顶点都在一个表面积为 的球面上，过点 C且与 BD 平行的平面 分别与棱
AB，AD 交于点 E，F，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为 .
14.已知 O为坐标原点，过 作x轴的垂线交直线 于点 B，C满足 ，过 B作x轴的
平行线交 E： 于点 P（P在B的右侧），若 ，则 .
四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13 分）
记△ABC 的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ， .
（1）若 ，求△ABC 的面积；
（2）若 ，求 b.
16.（15 分）
如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为 4cm 和6cm，，为圆台的两条不同的母线.
（1）求证： ；
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