湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期高考适应考试（四）数学试题 含解析

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长郡中学 2024 届高考适应性考试（四）
数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知复数 在复平面内对应的点为 ， 是 的共轭复数，则 （ ）
A．B．C．D．
3．若向量 ， ，则“ ”是“向量 ， 的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片
生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线
（其中 ， ， ）的振幅为 1，周期为 ，初相位为 ，则通过主动降噪芯片生成的
声波曲线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．4 B．C．2 D．
6．当圆 的圆心到直线 的距离最大时， （ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术・商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面 截正方体可得两个堑堵，
再沿平面 截堑堵 可得一个阳马（四棱锥 ），一个鳖臑（三棱锥
），若 为线段 上一动点，平面 过点 ， 平面 ，设正方体棱长为 1，
，平面 与图中瞥臑的截面面积为 ，则点 从点 移动到点 的过程中， 关于 的函数图象大致是
（ ）
A．B．
C．D．
8．已知 ，且 ，则 （ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列关于 的展开式的说法中正确的是（ ）
A．所有项的系数和为 64 B．常数项为第 4项
C．共有 3项整式 D． 项的系数是
10．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的最小值为 1 B． ，
C．D．
11．已知抛物线 的准线方程为 ，焦点为 ， 为坐标原点， ，
是 上的两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 8
C．若直线 过点 ，则以 为直径的圆过点
D．若直线 与 的斜率之积为 ，则直线 过点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分
12．设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 _____
___．
13．已知 ，对任意的 ，都有 ，则
________，函数 的最小值是________．
14．“迪拜世博会”上，中国馆取型中国传统灯笼，㝢意希望和光明．某人制作了一个中国馆的实心模型，
模型可视为由内外两个同轴圆柱组成．已知内层圆柱底面直径为 ，外层圆柱底面直径为 ，且内
外层圆柱的底面圆周都在一个直径为 的球面上，此模型的体积为________ ．
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