湖南省长沙市师范大学附属中学2024届高三下学期三模数学试卷 Word版含解析

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湖南师大附中 2024 届模拟试卷（三）
数学
命题人、审题人：数学备课组
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示是函数 的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（
）
A.函数 的定义域为 B.函数 的值域为
C.此函数在定义域中不单调 D.对于任意的 ，都有唯一的自变量 与之对应
3.设 表示向东走 ， 表示向南走 ，则 所表示的意义为（ ）
A.向东南走 B.向西南走
C.向东南走 D.向西南走
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.3
5.在数列 中，若 ， ，则 （ ）
A.1012 B.1013 C.2023 D.2024
6.设函数 （ ， 为常数），则“ ”是“ 为偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金 ，售货员先将 砝码放在天
平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将 砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天
平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金（ ）
A.小于 B.等于 C.大于 D.与左右臂的长度有关
8.斜率为 1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为（ ）
A.0 或2 B. 或2 C. 或0 D.0 或1
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.关于 的展开式，下列判断正确的是（ ）
A.展开式共有 6项B.展开式的各二项式系数的和为 64
C.展开式的第 6项的系数为 30 D.展开式中二项式系数最大的项是第 4项
10.设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 ，若 ，且
，则抛物线 的方程可以为（ ）
A. B. C. D.
11.在三棱锥 中， 平面 ， ，平面 内动点 的轨迹是集合
.已知 ， ， 且 ， 在棱 所在直线上，则（ ）
A.动点 的轨迹是圆
B.平面 平面
C.三棱锥 外接球的半径不是定值
D.三棱锥 体积的最大值为 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知复数 满足 ，在复平面内 对应的点为 ，则点 的集合构成图形的面积为_______.
13.在 ，已知 ， .则_________.
14.二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某
月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数是 ，缴获的该月生产的辆坦克编号从小到大为 ，
， ， ，即最大编号为 ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编
号的，所以缴获坦克的编号 ， ， ， ，相当于从中随机抽取的 个整数，这个数将区间
分成 个小区间，由于 是未知的，除了最右边的区间外，其他 个区间都是已知的.由于这
个数是随机抽取的，所以可以用前 个区间的平均长度 估计所有 个区间的平均长度 ，进
而得到 的估计值.
例如，缴获坦克的编号是 3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为____
_.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 13 分）
如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，向右移动的概
率为 ，共移动 ，设随机变量 为移动 后质点的坐标.
（1）求移动 后质点的坐标为正数的概率；
（2）求随机变量 的分布列及数学期望.
16.（本题满分 15 分）
已知函数 .
（1）求函数 的极值；
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