湖南省长沙市师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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湖南师大附中 2023-2024 学年度高二第二学期期中考试
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．D．
2．在平行四边形 ABCD 中， ， ，对角线 AC 与BD 交于点 O，则 的坐标为
A．B．C．D．
3．王大爷养了 3只鸡和 2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，
则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（ ）
A．120 种B．72 种C．48 种D．36 种
4．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 P，Q两点，若线段 PQ 中点的横坐标为 2，
，则抛物线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．函数 在区间 上的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
6．对于一组具有线性相关关系的数据 ，根据最小二乘法求得经验回归方程为
，则以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线 上
B．预报变量 y的值由解释变量 x唯一确定
C．决定系数 越小，说明该模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
7．设 A为直线 上一点，P，Q分别在圆 与圆
上运动，则 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．设 ， ， ，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共 3个小题，每小题 6分，满分 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知 a，b，c， 且 ， ．则下列关系一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上
顶点， 是边长为 2的正三角形．下列说法正确的是（ ）
A．离心率
B．使得 为等腰三角形的点 A有4个
C．当直线 倾斜角为 时， 周长为 6
D．将椭圆 C进行旋转得到椭圆 ，使得 以 和 B为焦点，则 C和 有且仅有 2个交点
11．如图，正八面体 棱长为 2，P为棱 MC．上一动点（不含端点）．下列说法正确的是
（ ）
A．存在点 P，使得
B．当 P为棱 MC 的中点时，正八面体表面从 N点到 P点的最短距离为
C．异面直线 AP 和MD 所成角随 PC 的增大而减小
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．若集合 ，且 ，则实数 ______．
13．已知 p：“ ”是 q：“ ”的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是______．
14．如果圆 至少覆盖函数 的一
个最大值点和一个最小值点，则 m的取值范围是______．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知函数 为奇函数．
（1）求 a的值；
（2）当 时，求 的单调区间和极值．
16．（本小题满分 15 分）
如图，△ABC 与△DBC 所在平面垂直，且 ， ．
（1）证明： ；
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