湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题 Word版含答案

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南雅中学 2024 年上期第二次月考试题
高二数学
时量：120 分钟 分值：150 分
命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
3.已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B.5 C. D.2
4.已知函数 ，则“ ， ”是“ 为偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
6.一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出 1个球，直到摸出的球有三种颜色
为止，若小明第 4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ）
A.9 种B.12 种C.18 种D.24 种
7.已知 、 ，直线 ： ， ： ，且 ，则 的最
小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
8.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良
工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为
，第 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 为首
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）
（参考数据： ， ）
A.12 B.13 C.14 D.15
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A.这10 年粮食年产量的极差为 16
B.这10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35
C.这10 年粮食年产量的平均数为 33.7
D.前5年的粮食年产量的方差小于后 5年粮食年产量的方差
10.若长方体 的底面是边长为 2的正方形，高为 4， 是 的中点，则（ ）
A.
B.平面 平面
C.三棱锥 的体积为
D.三棱锥 的外接球的表面积为
11.已知函数 的定义域为 ，且 ，都有 ，
， ， ，当 时， ，则下列
说法正确的是（ ）
A.函数 的图象关于点 对称
B.
C.
D.函数 与函数 的图象有 8个不同的公共点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.在长方体 中，底面 为正方形， ，其外接球的体积为 ，则此长方
体的表面积为______.
13.已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范围是______.
14.有序实数组 称为 维向量， 为该向量的范数，范数在度量向
量的长度和大小方面有着重要的作用.已知 维向量 ，其中 ， .
记范数为奇数的 的个数为 ，则 ______；______.（用含 的式子表示）
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 ， ，且
.
（1）求角 ；（6分）
（2）若 ， ，求 的面积.（7分）
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