湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期二模数学试题 Word版含解析

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长沙市一中 2024 届高考适应性演练（二）

数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1．设集合，，则（）

A．B．C．D．

2．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

3．已知，则（）

A．B．C．D．

4．的展开式中的系数是（）

A．8 B．C．32 D．

5．在平面直角坐标系中，已知圆，若直线上有且只有一个点

满足：过点作圆的两条切线，切点分别为，且使得四边形为正方形，则正实

数的值为（）

A．1 B．C．3 D．7

6．已知函数，若（其中），则的最小值为（

）

A．4 B．2 C．D．

7．中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于 2004 年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．为弘扬中

华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循

环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠

前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 3分，平场得 1分，负一场得 0分．若每场比赛中两

队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概

率为（）

A．B．C．D．

8．在边长为 4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四

条边），且，则的轨迹长度为（）

A．B．C．D．

二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）

9．设函数的定义域为，为奇函数，，，则（）

A．B．C．D．

10．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，要先走完总路程的三

分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下

路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误

的结论．设，这个人走的第段距离为，这个人走的前段距离总和为，则（）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），为

线段的中点．若，则下列说法正确的是（）

A．抛物线的准线方程为

B．过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上

C．若为坐标原点，则

D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点，则

三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）

12．二项式的展开式中所有二项式系数之和为 64，则二项式的展开式中常数项为______．

13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分

钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为

参数）．令，，计算得，，．由最小二乘法得经验回归方程为

，则的值为______；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若

残差平方和，则决定系数 ______．（参考公式：决定系数

）

14．已知直四棱柱的所有棱长均为 4，，以为球心，为半径的球

面与侧面的交线长为______．

四、解答题（本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15．（13 分）

已知函数．

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