湖南省益阳市安化县第二中学2024届高三下学期三模试题 数学 Word版含答案

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2024 届高三全真模拟考试试题
数 学
考试时量：120 分钟 总分: 150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1.已知集合
A={x∨x²<9}, B={x∨x−2≤0},
则A∩B= ( )
A. {0,1,2} B. {-2,2} C. {x|2≤x<3} D. {x|-3<x≤2}
2. 某 生 产 线 正 常 生 产 下 生 产 的 产 品 A的 一 项 质 量 指 标 X近 似 服 从 正 态 分 布 N(5 ，σ²) ， 若
P(X≤a)=P(X≥1+2a), 则实数 a的值为 ( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9
3.如图，点 P，A，B均在边长为 1的小正方形组成的网格上，则
⃗
PA ⋅
(
⃗
PB−2
⃗
PA
)
=¿
( )
A. -8
B. -4
C. 0
D. 4
4.二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第
一年汽车贬值 20%，从第二年开始每年贬值 10%.刚参加工作的小明打算买一辆约 5年的二手车，价
格不超过 8万元.根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是 m(m∈N)万, 则m= ( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
5 现某社区服务中心俱乐部将 5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙 3个居民区去义演，则每个
居民区都有京剧演员的分配方法有 ( )
A. 240 种 B. 640 种 C. 1350 种 D. 1440 种
6. 已知 M 是抛物线
y²=4x
上一点， 圆
C₁:
(
x−1
)
²+
(
y−2
)
²=1
关于直线 y=x-1 对称的圆为 C₂, N 是
圆C₂ 上的一点, 则|MN|的最小值为( )
A.2❑
√
2−1
B .❑
√
2−1
C .
❑
√
11
2−1
D.
7. 若a=2ln1.1, b=0.21, c=tan0.21, 则( )
A. b<c<a B. a<c<b C. c<a<b D. a<b<c
8. 已知函数
g
(
x
)
=xe ²ˣ−mx−lnx ,
(其中 e是自然对数的底数)，若不等式 g(x)≥1 对∀x∈(0,+∞)恒成立,
则实数 m的取值范围为( )
A .
(
−∞, 1
e
)
B .
(
−∞ , 2
e2
)
C .
(
−1
e,2
)
D. (-∞,2]
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.下列命题中，正确的有
A . x+4
x
最小值是 4 B.“a>1”是
a²>aⁿ
的充分不必要条件
C. 若a>b,则
1
a<1
b
D.若a,b∈R⁺, 且a+b=1,则
1
a+4
b
的最小值为 9.
10. 已知{an}是等比数列, Sn 是其前 n项和, 满足
a₃=2a₁+a₂,
则下列说法正确的有
A.若{an}是正项数列，则{an}是单调递增数列
B . Sₙ, S ₂ₙ−Sₙ, S ₃ₙ−S₂ₙ
一定是等比数列
C. 若存在 M >0, 使
¿aₙ∨≤ M
对∀n∈N+都成立, 则{|an|}是等差数列
D, 若
aₙ>0,
且
a1=1
100 ,T n=a1⋅a2⋯ ⋯ an,
则n=7 时Tn 取最小值
11.如图，点 P 是棱长为 2的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的表面上的一个动点，则下列结论正
确的是
A. 当点 P在平面 BCC₁B₁ 上运动时, 四棱锥 P-AA₁D₁D 的体积不变
B. 当点 P在线段 AC 上运动时，D₁P 与A₁C₁ 所成角的取值范围为
[
π
3,π
2
)
C. 使直线 AP 与平面 ABCD 所成角为 45°的动点 P的轨迹长度为
π+4❑
√
2
D.若F是A₁B₁ 的中点,当点 P在底面 ABCD 上运动,且满足 PF∥平面 B₁CD₁ 时, PF 长度
的最小值为
❑
√
5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．若复数 z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则|z|＝ .
13．函数 的图像与直线 有且仅有两个不同的交点，则
实数 的取值范围是 ．
14．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学
成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直
角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
为“阳马”．如图，几何体P－ABCD 为一个阳马，其中 平面 ABCD，若 ，
， ，且 PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在 中，角 的对边分别为 ， ， 为锐角，且
，求 面积 的最大值．
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